随着社会的发展和科学技术的进步.人们广泛研究了越来越多的非线性问题.作为研究各种非线性问题的学科.非线性泛函分析是现代数学中既有深刻理论意义.又有广泛应用价值的研究方向.它以数学及自然科学领域中出现的非线性问题为背景.提供了处理许多非线性问题的诸多方法.包括拓扑度理论、锥理论、临界点理论和单调算子理论.很自然地，获得的研究成果可以广泛地应用于各种非线性微分方程、积分方程和其他类型的方程以及计算数学、控制理论、最优化理论.动力系统、经济数学中.　　 边值问题是非线性常微分方程和非线性偏微分方程理论研究中极为活跃且成果丰硕的领域.它源于应用数学、物理学和控制论等应用学科，因此，边值问题的研究具有重要的理论意义和应用价值.常微分方程边值问题通常可以转化成积分方程问题求解，故积分方程的研究也有重要的价值.　　 近几年，研究奇异微分方程方程的文章逐渐增多.以常微分方程奇异边值问题为例，这些文章仅能做到在区间[0，1]两端点处奇异，在整个区间[0，1]上是不能做到奇异的.本文利用锥理论、不动点指教理论和拓扑度理论，致力于研究奇异Sturm-Liouville边值问题.高阶奇异常微分方程积分边值问题、奇异Hammerstein积分方程问题正解或非平凡解的存在性，本文的创新之处在于：将奇异条件推广到整个区间[0，1]，即不仅在[0，1]两端点处可奇异，在整个区间[0，1]内都可奇异，且非线性项的超线性和次线性增长条件都是用线性积分算子的第一特征值刻画的.这说明，所得结果在某种程度上是最优结果.　　 本文共分为四章：　　 在第一章中，我们用Krasnoselskii不动点定理研究下列奇异Sturm-Liouville问题的正解的存在性：其中f∈C([0，1]×R+，R+)，g∈L(0，1)，g在[0，1]上可奇异且几乎处处非负，满足()α，β在[0，1]上单增，在[0，1)上右连续，在t=1处左连续，α(0)=β(0)=0，γ0∈[0，π/2]，γ1∈[0，π/2].本章的研究价值在于：一方面，边值条件由两点边值条件或多点边值条件推广为一般的积分边值条件；另一方面.非线性项g允许在[0.1]上奇异.　　 在第二章中.我们利用拓扑度理论建立下列高阶非线性奇异常微分方程的非平凡解的存在性：其中f∈C([0，1]×R，R)，a∈L(O，1)，a在[0，1]上可奇异且几乎处处非负，满足()在这一章还利用锥上的郭大钧-Krasoselskii不动点定理证明了高阶边值问题：正解的存在性.其中引理2改正了葛渭高专著中的一个错误结果.　　 在第三章，首先用Krasnoselskii不动点定理研究非线性奇异Hammerstein积分方程：正解及多解的存在性，其中f∈C([0，1]×R+，R+)，a在[0，1]上可奇异且非负，满足().对超线性和次线性条件下都做到了第一特征值，本质推广了和改进了现有文献的结果.作为应用，还讨论了一个二阶奇异Sturm-Liouville问题的正解及多重正解的存在性问题.　　 本章还研究了扰动后的非线性奇异Hammerstein积分方程的正解的存在性：其中f∈C([0，1]×R+，R+)，g∈L(0，1)，g在[0，1]上可奇异且几乎处处非负，满足()，()i∈C[0，1]，对t∈(0，1)，满足()i(t)>0，αi在[0，1]上单调不减，在[0，1)上右连续，在t=1处左连续，且αi(0)=0，i=1，2，...，n.　　 在第四章中.用不动点指数理论研究了非线性二阶常微分方程组边值问题正解的存在性，其中f，f2∈C([0，1]×R+×R+，R+)；αi为定义在[0，1]上的单增非常值函数，且αi(0)=0；Hi∈C(R+，R+)(i=1，2，3，4).所得结果改进和推广了现有文献的结果，本质不同于意大利教学家Gennaro Infante，Paolamaria Pietramal2009年在文献[40]中的相应结果.