【摘 要】
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众所周知,蚊媒感染传播的疾病历史悠久,而登革热是人类最常见的蚊媒传播疾病之一,该疾病通过蚊虫叮咬在人与人之间传播,同时每年都在不同的地区爆发,给人们的生产生活带来了不同程度的困扰.数学模型可以很好的刻画疾病的动力学行为,通过数值建模能够更好的研究各种参数之间相互影响的关系,以及建立怎样的预防和控制措施.本文将空间扩散、环境噪声以及一些控制措施引入到模型中研究其动力学行为与控制.主要研究内容如下:（
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众所周知,蚊媒感染传播的疾病历史悠久,而登革热是人类最常见的蚊媒传播疾病之一,该疾病通过蚊虫叮咬在人与人之间传播,同时每年都在不同的地区爆发,给人们的生产生活带来了不同程度的困扰.数学模型可以很好的刻画疾病的动力学行为,通过数值建模能够更好的研究各种参数之间相互影响的关系,以及建立怎样的预防和控制措施.本文将空间扩散、环境噪声以及一些控制措施引入到模型中研究其动力学行为与控制.主要研究内容如下:（i）研究了登革热模型在空间异质环境下的动力学行为.利用半群理论证明了全局正解的存在唯一性,通过下一代算子的谱半径定义了常系数下的基本再生数,结合全局指数吸引集定义、比较原理、梯度类型算子等得到了登革热模型的全局渐近稳定和疾病一致持久的结果.最后,通过数值算例说明了理论结果,揭示了扩散系数和空间异质率对疾病控制的影响.（ii）讨论了随机登革热模型的平稳分布和最优控制,通过随机比较定理、非负半鞅收敛定理、构造Lyapunov函数等方法证明了平稳分布的正解存在唯一性的充分条件.引入控制策略,即治疗感染个体并喷洒杀虫剂灭蚊.利用Pontryagin极大值原理,给出了最优控制存在的一阶必要条件.通过数值模拟验证了平稳分布的存在性,解的平稳分布在不同空间有一定的差异性.探讨了不同噪声强度和不同控制策略对疾病的影响.（iii）研究了具有Lévy噪声的扩散登革热模型接近最优控制的充要条件.通过构造Lyapunov函数证明了全局正解的存在唯一性,结合倒向随机微分方程、鞅定理给出了一阶伴随方程以及状态过程的先验估计.并利用Pontryagin随机极大值原理,建立了接近最优控制的充分必要条件.数值模拟给出了最优控制与接近最优控制的误差图,结果表明接近最优控制的可行性.（iv）通过引入环境白噪声研究了随机登革热模型全离散数值格式,讨论了解析解和数值解逼近的均方误差.采用半群理论、压缩映射原理等证明了解的存在唯一性、有界性和正性.给出了解在时间和空间上的正则性.最后,根据已有解的性质,得到了全离散数值方法的均方误差估计,并通过数值模拟验证了算法的有效性.
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