设Ω是RN（N≥ 2）上带有C1,1边界（?）的有界区域,Ω1是Ω的一个子区域,（?）Ω也具有C1,1边界,令（?）是连通的.显然有（?）本文我们将采用非线性泛函分析中的临界点理论,变分法,Nehari流形等来研究如下一类Kirchhoff型传输问题基态解的存在性其中α,β是定义在R+:=[0,∞)上的两个正函数,v是（?）上的外法向量,且（?）（?）这个问题模拟了在Ω1,Ω2上分别由两种不同的材质构成的薄膜的横向振动.由于在边界∑上满足条件（?）,我们称上述问题为传输问题.传输问题在物理学和生物学上有着广泛的应用.如在固体媒介的电动力学中,带有不同介质常数的铁磁媒质的电磁式过程;在生物学中,当主体生存环境由多种不同生态媒介构成时,种群的分布和传输问题等都是典型的非线性传输问题.讨论传输问题的关键之处是建立传输问题的空间结构.在本文中,我们的讨论是基于以下Sobolev空间其中根据Poincare不等式,H（?）（Ω2）是一个Banach空间并具有范数（?）[To Fu Ma and Jaime Edilberto Munoz Rivera.Positive solutions for a nonlinear nonlocal elliptic transmission problem.Appl.Math.Lett.,16（2）:243-248,2003]定义了Sobolev空间E上的范数,并通过等价范数的方法证明了E的完备性,本文我们给出了一个更容易理解的方法.本文共五章.第一章,主要介绍Kirchhoff型传输问题的一些研究背景,国内外的研究现状以及本文的一些主要结果.第二章,我们将使用Nehari流形的方法研究次临界情形下Kirchhoff型传输问题（1）的基态解.我们假设函数对（α,f）和（β,g）分别属于AF（Ω1）和AF（Ω2）.即如果（α,f）满足下列假设,则函数对（α,f）属于AF（?）（?）严格递增，（?）（?）存在（?），使得（?）上严格递减，其中（?）（F0）存在σ ∈（2,2*）和C>0,使得（F1）对x∈U,设f（x,s）/（|s|2γs）在（0,∞）上是递增的,在（-∞,0）上是递减的,而且lim|s|→∞f（x,s）/（|s|2γs）=∞对x ∈U一致成立,其中γ定义如（A1）;（F2）lims→0f（x,s）/s=0对x ∈ U一致成立.本章主要证明了当N≥ 2时,若（α,f）和（β,g）分别属于AF（Ω1）和AF（Ω2）,则问题（1）有一个基态解.即定理2.1.5.特别是对于N=2时,我们将在更弱的条件下继续研究上述传输问题,即（α,f）∈ AF（U）.这里（α,f）∈AF’（U）是指（α,f）满足（A0）,（A1）,（F’0）,（F1）和（F2）,其中条件（F’0）如下（F’0）设λ>0,存在Cλ>0,使得我们获得了当N=2时,如果（α,f）和（β,g）分别属于AF’（Ω1）和AF’（Ω2）,则问题（1）有一个基态解.这个结论推广了定理2.1.5在N=2情形下的结论.第三章,我们将致力于研究临界状态下基态解的存在性,即讨论如下传输问题基态解的存在性其中（?）上的外法向量,且（?）可以看到在上述传输问题中,如果λ>0,那么它的非线性项具有临界增长.据我们所知,关于Kirchhoff型传输系统的临界指数问题的研究还很少.在本章中,为了对上述临界问题得到类似于定理2.1.5的结论,假设函数对（α,f）和（β,g）属于集合AF.即如果（α,f）满足（A0）,（A1）,（F1）,（F2）,以及（F3）,则称函数对（α,f）∈ AF,其中条件（F3）如下（F3）f满足拟临界增长型条件,即本章假设（?）获得了存在λ0>0,当λ∈[0,λ0)时,问题（2）有一个基态解（uλ,vλ）.此外,当λ→0时,（uλ,vλ）→（u0,v0）在E中,其中（u0,v0）是问题（2）当λ=0时的基态解.即定理3.1.1.为了获得上述临界系统的非平凡解的存在性,很自然想到的办法是首先计算一个临界能量c*,这个值能够保证对所有的c<c*,相应的能量泛函满足（PS）c条件,然后再验证该泛函在Nehari流形上的最小能量小于c*.与这个方法不同,在本章中,我们借鉴了 文献[Wonjeong Jeong and Jinmyoung Seok.On perturbation of a functional with the mountain pass geometry:applications to the nonlinear Schrodinger-Poisson equations and the nonlinear Klein-Gordon-Maxwell equations.Calc.Var.Partial Differential Equations,49（1-2）:649-668,2014]中扰动的思想来研究此问题基态解的存在性.Jeong和Soek考虑对充分小的λ0>0,在I0的山路型临界点的一个小邻域内,获得了泛函Iλ的一个非平凡临界点.事实上,他们用到了紧扰动的思想,但是在本章中由于临界项u5和v5的出现,Iλ显然不能看成I0的一个紧扰动,所以我们不能直接用上述文献定理1的方法去获得临界点.在这个意义下,我们的结果补充了上述文献的结果.第四章,我们考虑下列临界情形下修正的Kirchhoff型传输问题的基态解其中（?）,v是（?）上的单位外法向量,且（?）由于非局部项（?）的存在,我们说这个系统是修正的Kirchhoff型传输问题.方程（3）有两个修正,一个是关于拟线性Schrodinger方程的修正,另一个是关于经典的Kirchhoff型传输问题的修正.本章我们将建立带有一般的g,φ及ψ的Kirchhoff传输问题基态解的存在性.同样地假设函数对（α,g,f）,（β,g,h）,（α,g,φ）和（β,g,ψ）属于集合A,其中函数对（α,g,f）属于A指（α,g,f）满足下列假设（A0）α ∈ C（M+）严格递增,α（0）>0;（A1）存在γ ∈（0,2）,使得[α（s）-α（0）]/sλ在（0,∞）上是严格递减的;（G）g∈C1（R,R+）是偶函数,且g’（s）≥0,s∈R+,以及g（0）=1;（F’1）函数（?）在（0,∞）上递增,在（-∞,0）上递减,而且（?）如（A1）中所给.其中（?）特别的,如果lf=0,我们称f是次临界增长;如果lf≠0,称f是临界增长.关于方程（3）,一个值得我们指出的问题是Sobolev临界指数问题,我们知道方程（2）的临界指数是6,而临界指数对解的性质有重要的影响.而方程（3）临界指数会因g的不同而不同,并且临界指数依赖于G6.这是一个有趣的现象.这一章的主要结论是如果（?）则存在λ0>0,使得当λ∈[0,λ0)时,问题（3）有基态解（uλ,vλ）.此外,在E中（?）其中（u0,v0）是问题（3）当λ=0时的基态解.即定理4.1.5.特别的,令（?）（?）则存在λ0>0,使得当λ ∈[0,λ0)时,下列的方程有基态解uλ其中g ∈（4,12）.进一步,在（?）中有（?）其中u0是上述问题当λ=0时的基态解.另外,设（?）,则由定理4.1.5知,传输问题（3）有基态解.因此,我们说定理4.1.5是比定理3.1.1更一般的结论.第五章,我们将研究一类Kirchhoff型传输问题径向解的存在性.设（?）（?）别是（?）1)中的开球,闭球和球面.考虑如下传输问题非平凡径向解的存在性其中v是（?）上的外法向量,a,c>0,6,d≥0,且（?）我们假设两个函数f,g分别属于F（0,1）和F（1,2）.如果f满足如下条件,则称函数f属于F（U）（f1）对每一个（?）在（0,∞）上递增,在（-∞,0）上递减,且（?）（?）一致成立;（?）上一致成立.在这一章中,我们先证明了如果（u,v）是上述传输问题的解,当且仅当（u,v）是如下常微分方程组的经典解为了获得上述解的等价性结果,我们先获得了一个正则性定理.即如果（?）（?）以及（?）是系统（5）的解,则（?）.在此基础上我们证明了若f和g分别属于F（0,1）和F（1,2）.则问题（4）有一个非平凡径向解.即定理5.1.1.特别的,当N=1时,定理5.1.1补充了定理2.1.5的结论.