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本文讨论Markov过程(链)平稳分布和极限分布.一般状态Markov链的理论和应用近几十年来发展很快,这是因为：一方面在理论上由于小集(small set)和分裂(splitting)技术被引入一般状态Markov链稳定性理论的研究,使得可数状态空间上Markov链的许多稳定性结果可推广到一般状态空间上.另一方面非线性时间序列分析和Monte-Carlo方法的广泛应用,刺激了理论研究的发展,特别是对(?)-不可约和Feller链的研究已日臻成熟,建立起较为完整的理论体系.而对于没有(?)-不可约性也没有Feller’性以及非时齐的Markov链的研究尚不充分,但在实际应用中我们常会遇到这种Markov链.本文第2、3章中我们将研究没有不可约性和Feller性的Markov链的平稳性.第6、7章则以非时齐Markov链的极限分布为研究背景.第4章采用近年来广受关注的耦合方法研究Polish空间上Markov过程的平稳性及其应用.第5章讨论非平稳Markov链的a.s.中心极限定理.具体内容安排如下：第1章简要介绍本文主要工作.第2章给出“广义不可约”Markov链存在平稳分布的充分必要条件,这是一类不具有通常讨论平稳性时所具备的不可约性和Feller’性的Markov链.我们采用广义细集而不是通常所采用的细集作为验证条件,更便于应用,因为在很多情形下,紧集是广义细集但不是细集.在主要结果的证明过程中还给出了当Markov链不具有不可约性时,细集与一致非常返集的关系,以及存在Harris分解的Markov链存在平稳分布的充分必要条件.第3章讨论Markov切换的非线性AR过程的平稳性,这是在经济和金融领域中有广泛应用的数学模型,本章讨论三个方面的问题.§3.2在模型的Markov链不具有不可约性和Feller性条件下讨论加性噪声AR过程.与第2章不同,这一章把基础建立在“一致可数可加条件”上.利用骨架链技巧和Lp函数的紧支撑连续逼近,得到该模型Markov链平稳分布和高阶矩的存在性.§3.3首先将§3.2的结果建立到条件异方差型AR过程,然后在增加噪声εt具有处处为正的密度的条件下证明了模型的中心极限定理和重对数律.为克服模型的Markov链不具有Feller性所带来的困难,我们给出了一个利用“一致可数可加条件”判别紧集是该Markov链的细集的方法.§3.4通过一般状态空间Markov链非遍历性的Kaplan条件,使用Lyapunov方法给出Markov切换的非线性AR过程不存在平稳分布的一些充分条件.第4章首先利用耦合方法和KRW概率距离的对偶表示给出了一般Polish空间上Markov过程平稳分布存在唯一性和KRW距离意义下的收敛速度估计.第2部分将所得结果应用于扩散过程得到一些新的平稳性判据.最后,用Lyapunov方法讨论带有Markov切换的扩散过程平稳分布的存在唯一性,并将结果应用于Markov切换的Hopfield随机神经网络.第5章研究非平稳Markov链a.s.中心极限定理.为克服非平稳性所带来的困难,首先利用“混合性”给出平稳Markov链的a.s.中心极限定理,然后利用“推移算子”和“调和函数”技巧证明初始分布不是平稳分布时仍有相同的结论.第6章首先指出非时齐Markov链依分布收敛性与某个半群上概率测度序列“组合收敛性”的关系.然后从三个方面讨论了某些拓扑半群上概率测度序列的组合收敛性.首先讨论了离散可数H半群上概率测度序列组合收敛与强组合收敛关系,部分证实了[106]提出的一个猜想.然后在同分布的场合,从代数结构和拓扑结构上推广了强Kloss收敛准则.最后给出了具有紧核的局部紧H半群上的概率测度序列某些聚点集的构造,从代数结构上推广了Maksimov等的结果.第7章讨论噪声为非时齐Markov链的线性模型Huber-Dutter(HD)估计的极限分布和收敛速度.这是广受关注的一类稳健估计,在一些常见条件下证明HD估计以速度n-1/2渐近正态,与i.i.d.噪声场合相比这一结果是理想的.鞅的理论与方法是贯穿第7章的主要方法.