科学技术的发展日新月异,给数值计算提出了越来越高的要求。随着流体力学中研究问题规模的扩大,实际应用迫切需要计算数学为其提供准确、高效和实用的数值模拟工具以及流场分析工具。众所周知,双曲型方程数值计算中广泛存在着奇异性问题,例如激波和涡流等,这给传统的数值求解造成了困难。因为在奇异点附近,解的梯度大,并且会发生突变,所以用规则网格和线性解算器求解是不现实的。近年来,小波分析作为一种强有力的自适应工具,除了广泛地应用于信号处理等领域之外,也逐渐受到计算流体力学工作者们的重视,成为求解偏微分方程的一种新兴的数值方法。本文考虑双曲型方程(特别是双曲型守恒律方程)的小波解法,主要特点是着眼于对间断面的模拟,围绕如何利用小波函数模拟强间断,如何利用小波分析提高传统方法的效率等问题展开进行研究,主要的研究工作包括:1、选择Daubechies小波尺度函数空间作为传统Galerkin方法的权函数和试函数空间,将其应用于Hamilton-Jacobi方程,得到两类求解Hamilton-Jacobi方程的小波Galerkin数值格式,并分析了格式的性质。由于小波在时间和频率上的局部性,本文构造的方法适用于处理具有奇异解的问题,可以有效地防止数值振荡。数值结果表明了该方法的可行性。2、根据一维情况下Hamilton-Jacobi方程与双曲型守恒律方程的等价性(粘性解与熵解等价),通过积分变换,将上述关于Hamilton-Jacobi方程的格式运用到双曲型守恒律方程的数值求解。由于双曲型守恒律的Hamilton-Jacobi方程解是Lipschitz连续的,因此避免了直接将小波方法应用于强间断逼近,有效地消除了Gibbs现象。数值结果表明该方法是有效的。3、对双曲型守恒律方程组,构造了一类自适应多分辨格式。其主要思想是以数值解的多分辨信息作为分析手段,在规则的嵌套网格范围内进行选择,使得计算网格根据数值解的情况发生变动,再结合现有的高精度有限体积格式(如TVD、ENO等)进行求解。一方面,有限体积方法天然守恒,通过局部迭代后的边界通量修正,可保证算法整体守恒,数值解将收敛到弱解;另一方面,由于小波系数的大小可反映局部数值解的光滑程度,所以计算网格会自动地集中到奇异区域,通过对滤波阈值的调整,可控制整体网格的疏密。数值实验表明,虽然该方法损失了部分精度,但在提高算法效率方面显示出优良的性能,有望成为移动网格的有效替代。4、鉴于现有小波配点法大多采用显式的多步时间离散,本文讨论了对流扩散方程的半隐式小波配点法。空间导数采用Daubechies小波自相关函数离散,保持了小波逼近的高精度性和对奇异的高分辨性;时间方向则根据Crank-Nicolson格式进仃展开,Crank-Nicolson格式是所有两点差分格式中精度最高的一种,具有既简单又高效的优点。由于小波函数的局部紧支撑性质,方程离散所得的代数系统是带状稀疏的。然后,运用Von Neumann方法对格式的稳定性进行了分析,证明格式对于本文所选用的Daubechies小波自相关函数族是绝对稳定的。