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本文在倒向随机微分方程理论和平均场倒向随机微分方程理论基础上,从两个方面研究了平均场倒向随机微分方程的性质——带连续系数的平均场倒向随机微分方程解的性质,以及平均场倒向随机微分方程的生存性质。
首先我们研究了带连续系数的平均场倒向随机微分方程解的性质。我们考虑的平均场倒向随机微分方程形式如下:Y1=ξ+∫T(1)E[f(S,Y’S,Ys,ZS)]ds-∫T(1)ZsdWs,(1)
并给出关于系数的下面三个假设:
(B1)线性增长:存在常数K<∞,对任意的t,(ω),y,y,z,有|f((ω),t,y’,y,z)|≤K(1+|y|+|y|+|z|);
(B2)关于y的单调性:对任意的y,z,f(t,y’,y,z)关于y非递减;
(B3)对于固定的t,(ω),f(t,(ω),(·),(·),(·))是连续的。我们证明了满足假设(B1),(B2)和(B3)的函数f可以由一列满足Lipschitz条件的函数序列逼近。然后采用逼近的方法证明了MFBSDE(1)最小解的存在性,并且得到了相应最小解的比较定理,举例说明了连续系数条件下平均场倒向随机微分方程解是不唯一的,同时还说明了最小解的比较定理成立。
其次我们研究了平均场倒向随机微分方程的生存性,给出了平均场倒向随机微分方程的解属于一个给定的凸闭集的必要条件,以及平均场倒向随机微分方程的解属于一个给定的凸闭集的充分条件。最后我们采用两种方法研究了多维平均场倒向随机微分方程解的比较定理。