【摘 要】
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矩阵和张量方程问题在近代数学、应用物理、工程技术和生物科学等领域有着众多的应用,其中很多问题实质上是转化为矩阵或张量问题进行的,不少学者对这类问题进行研究,并取得了一系列的研究成果.本课题是对几类矩阵和张量方程迭代算法的研究,这些方程及算法具有很好的理论意义以及广阔的应用前景.文中主要的研究工作为以下三类方程的迭代算法研究:问题Ⅰ 给定矩阵Ai,Q∈Rp×p,其中Q为对称正定矩阵,求X∈A+使得问
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矩阵和张量方程问题在近代数学、应用物理、工程技术和生物科学等领域有着众多的应用,其中很多问题实质上是转化为矩阵或张量问题进行的,不少学者对这类问题进行研究,并取得了一系列的研究成果.本课题是对几类矩阵和张量方程迭代算法的研究,这些方程及算法具有很好的理论意义以及广阔的应用前景.文中主要的研究工作为以下三类方程的迭代算法研究:问题Ⅰ 给定矩阵Ai,Q∈Rp×p,其中Q为对称正定矩阵,求X∈A+使得问题Ⅱ 给定张量 Ap,Bp,C∈R1×…×IN×I1×…×IN,Ap,Bp 是非奇异张量,求χ∈RI1×…×IN×I1×…×IN使得问题Ⅲ 给定张量 A ∈J1×…×IN×I1×…×IN,B∈RI1×…×IN×K1×…KP,C∈RU1×…×US×I1×…IN,D∈RI1×…×IN×V1×…×VT,ε∈RU1×…×US×V1×…×VT,求X∈RI1×…×IN×I1×…×IN使得基于不动点迭代原理给出了求解非线性矩阵方程问题Ⅰ的无求逆迭代算法,利用矩阵的正定性原理证明了算法的收敛性.采用牛顿迭代法思想结合LSQR方法给出了张量多项式方程问题Ⅱ的求解算法,并证明了该算法局部至少二阶收敛的性质.基于张量的梯度提出了求解张量方程组Ⅲ的迭代算法,并分析了该算法在精确计算时有限步终止的特性.对于上述问题都有相应的数值实验验证算法的有效性.
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