生物学的进步为数学生态学的发展提供了机遇,如今数学和生态学已不再是完全独立的学科,他们有着紧密的结合,目前这种趋势越来越明显,特别地,传染病动力学已成为目前应用数学研究的热点之一；这主要是因为随着现代科学技术的不断进步,数学对各个科学领域起着日益重要的贡献,尤其是在生态学这一自然科学领域中,值得一提的是生态学中的传染病动力学得到了长足的发展。基于疾病的发生及其在种群内传播的规律,我们可以用数学的方法构建模型对传染病动力学中提出的众多问题给出合理的解释,反过来,再由传染病的流行规律去检验构建模型的合理性和结论的正确性。目前传染病动力学引起了人们的广泛关注,不少学者已经做了大量的研究工作,并且构建了不同形式的数学模型,例如：SIR模型、SI模型、SIS模型、SEI模型还有SEIR模型。本文主要研究一类具扩散SEI模型的方程组解的定性性质及其自由边界问题,特别地,本文考虑SEI模型中E(潜伏者)和Ⅰ(染病者)均具有传染性。首先介绍传染病动力学的相关概念,接着是模型的建立,提出一个传染病动力学的偏微分方程组,对有关的数学问题进行较为系统的研究。本文由六个部分组成。在引言中具体介绍与本文研究有关的背景、来源、相关工作以及得到的结论。接着给出SEI的常微分模型,再考虑空间的扩散,引入齐次Neumann边界条件和初始条件,提出SEI的偏微分模型,即一类非线性反应扩散问题。随后的第一章中,先考虑在固定区域上的SEI模型,我们将首先给出问题解的正性和一致有界性。第二章给出SEI常微分模型方程组稳态解的渐近性态,结果表明：有效接触率很大或平均潜伏期较长时,染病平衡点是局部渐近稳定的；而当有效接触率很小或平均潜伏期较短时,无病平衡点是全局渐近稳定的。在上一章的基础上,第三章着重讨论相应的偏微分方程组平衡解的局部稳定性和全局稳定性,我们的结果和常微分方程组所得到的结果是一致的。第四章是论文的重点,我们考虑相应的自由边界问题,给出了该问题解的全局存在性,唯一性,讨论了自由边界的性质,证明了病毒要么蔓延,要么消退。我们也分别给出了蔓延和消退的充分条件,结果表明：当有效接触率很小或平均潜伏期较短时,且初始染病区域足够小,疾病消退；而当有效接触率很大或平均潜伏期较长时,且初始染病区域适当大,疾病蔓延。最后,通过两组数据,利用Matlab软件对文中的一些问题进行数值模拟,从得到的图形和数据看,模型所得到的理论结果和数值模拟是一致的。