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图谱理论是图论研究的一个非常活跃的重要领域,它在量子化学、统计力学、通信网络及信息科学中均有一系列重要应用.在图谱理论研究中人们引入了多种矩阵,诸如邻接矩阵、关联矩阵、拉普拉斯矩阵、无符号拉普拉斯矩阵,这些矩阵与图的结构都有密切的联系.图谱理论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质反映出来,这里所指的矩阵的代数性质,主要指矩阵的特征值.本文主要分两部分,分别考虑拉普拉斯谱半径(拉普拉斯矩阵的最大特征值)与参数(B-匹配、连通度、边数)之间的关系,以及无符号拉普拉斯的特征值与参数(边-不交生成树数目、高阶边-韧度)之间的关系得到如下主要结论：一.第二章第一节：在[4]中,袁等人证明了具有完美匹配的树中最大化拉普拉斯谱半径的树.作为一般匹配的推广,我们证明了具有完美P3一匹配的所有树中(含有覆盖所有点的相互独立的P3),具有最大拉普拉斯谱半径的树的结构.第二节：我们纠正了[21](J.X. Li, W.Ch. Shui, W.H. Chan, The Laplacian spec-tral radius of some graphs, Linear Algebra Appl.,431(2009)99-103.)两个不完整的定理,即刻画了(边)连通度固定的二部图中具有最大拉普拉斯谱半径的图的结构；以及连通度固定的一般图中具有最大拉普拉斯谱半径的图的结构.第三节：我们讨论了具有点数n、边数m且m≤2(n-2)的偶图中,最大化拉普拉斯谱半径的图,所得结果部分解决了[13](J.X. Li, W.C. Shui, W.H. Chan, On the Laplacian spectral radii of bipartite graphs, Linear Algebra Appl.,435(2011)2183-2192.)中的猜想.二.第三章,在[37]中Sebastian M. Cioaba和Wiseley Wong得到了d-正则图的第二大邻接特征值与边-不交生成树数目的关系；我们分别得出了一般图的无符号拉普拉斯谱(前两大特征值)与边-不交生成树数目、高阶边-密度之间的关系.