对流扩散方程和Navier-Stokes方程是描述粘性流体运动的基本方程,反映了粘性流体流动的基本力学规律,在流体力学中有十分重要的意义.对流扩散方程和Navier-Stokes方程是计算流体力学研究的重要数学模型,其数值方法的研究一直方兴未艾.本文系统研究发展型对流扩散方程和发展型Navier-Stokes方程的弱有限元方法(Weak Galerkin Finite Element Method),简称为WG方法.重点讨论发展型线性对流占优扩散方程、发展型非线性对流占优扩散方程和发展型不可压缩Navier-Stokes方程的WG有限元方法的构造和误差分析.第一章,我们给出有限元方法的一些基本概念和符号介绍.并以Poisson方程为例,简要介绍椭圆型二阶偏微分方程的WG方法的数值格式构造和误差分析方法.第二章,我们对发展型线性对流占优扩散方程提出了一种健壮的高效的WG有限元方法.对流扩散方程包含具有椭圆性质的扩散项和具有双曲性质的对流项.在对流占优情形下的对流扩散方程中,对流项占主导作用,对流项的数值离散在整个方程的数值格式的健壮性和数值解的无非物理震荡现象中起着关键性和决定性的作用.为了有效的处理对流项,本章特别引入了定义在多边形网格上的间断函数的弱方向导数.用弱方向导数离散对流项,并为对流项设计具有迎风性质的稳定项.再与扩散项的WG有限元离散格式相结合,得到发展型对流占优扩散方程的空间半离散格式.然后分别用隐式Euler方法和Crank-Nicolson方法分别离散时间项,获得发展型对流占优扩散方程的两种全离散WG有限元方法.最后,本章建立半离散WG有限元格式和两种全离散WG有限元格式在多边形网格上的稳定性和误差估计理论.第三章,将第二章建立的线性对流占优扩散方程的WG有限元方法及其稳定性、收敛性理论推广到非线性情形.与线性对流扩散方程相比,非线性对流扩散方程的数值离散更困难,其难点在于非线性对流项的离散.本章为非线性对流项引入了弱方向导数,并设计了线性的具有迎风特性的稳定化项.本章首先建立非线性对流占优扩散方程的空间半离散WG有限元格式,然后用隐式Euler方法进行时间导数的离散,获得隐式的全离散WG有限元格式.最后,我们建立非线性对流占优扩散方程的半离散WG有限元格式和全离散WG有限元格式在多边形网格上的稳定性和误差估计理论.第四章,进一步将第三章建立的非线性对流扩散方程的WG有限元方法及其稳定性、收敛性理论推广到应用更广泛的不可压缩Navier-Stokes方程.Navier-Stokes方程可以看作是由一系列非线性对流扩散方程构成的非线性偏微分方程组,或者看成是一个未知量函数为向量的、特殊形式的非线性对流扩散方程.本章特别引入了向量函数的弱梯度和弱方向导数,将其应用于Navier-Stokes方程的变分形式,构造发展型Navier-Stokes方程的空间半离散WG有限元格式.最后,我们建立了发展型不可压缩Navier-Stokes方程的半离散WG有限元格式和隐式Euler全离散WG有限元格式在多边形网格上的稳定性和误差估计理论.第五章,本章给出一些数值实验来验证第二章所建立的发展型线性对流占优扩散方程的收敛性理论.首先推导了第二章提出的WG有限元方法的矩阵形式,然后测试一些数值算例.数值结果充分验证了所建立的WG有限元方法的健壮性和收敛精度。