非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉科学,几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域,混沌理论、分形理论和孤立子理论共同构成了非线性这门学科的理论基础。其中的分形理论是非线性科学中最富有挑战性和广泛应用前景的学科。因而分形的研究既有重要的理论意义,又有广泛的应用价值。 分形作为一种全新的世界观与方法论,深刻揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一。就一个单体的分形集而言,它是一个有序与无序、确定与随机、混沌与分形的统一体。对于确定分形集(如广义M-J集)与随机分形集(如布朗运动)来说,这两类分形集彼此之间是否存在某种内在联系呢? 正是基于以上思考,本文在对M-J集分形理论及噪声理论深入分析和研究的基础上,将随机噪声引入到广义M-J集的研究中,推广了Argyris,Karakasidis和Andreadis等人提出的由二次复映射z←z~2+c构造的随机扰动的M-J集的方法,由复映射z←z~α+c(α∈R)构造出一系列实数阶的随机扰动的广义M-J集,从理论上分别给出了随机扰动的广义M-J集的定义。利用复变函数理论与计算机制图相结合的实验数学的方法,对两者的结构和演化进行了深入研究,内容如下: 1.研究了加性和乘性噪声扰动的广义M集的结构特征和裂变演化规律;分析了随机扰动参数对广义M集结构的影响;阐述了加性噪声扰动的广义M集的物理意义。 2.研究了加性和乘性噪声扰动的广义J集的结构特征和裂变演化规律;分析了随机扰动参数对广义J集结构的影响;阐述了加性噪声扰动的广义J集的物理意义。得出结论如下:(1)广义J集的抗噪性与α值有关。当噪声强度不变时,α越小,广义J集的抗噪性越弱;反之,广义J集的抗噪性越强。(2)在低强度噪声扰动下广义J集的分形生长是稳定的,随着噪声强度的增加,广义J集的分形生长从稳态过渡到混沌。这表明布朗运动可以是混沌的;混沌区周期窗口的存在又表明布朗运动是组织结构和高度有序的表现。 以上研究内容的相关论文已投往《高校应用数学学报》、《高等学校计算数学学报》等刊物。