图像去噪和图像着色是图像处理领域两个重要的研究内容。图像去噪即去除图像中的噪声。噪声来源于图像传输过程中受到的干扰信息,其会影响图像质量以及进一步的图像处理工作。因此,图像去噪是图像处理的基础。图像着色即将灰度图像彩色化,该技术可以使人们发现图像中更多的信息,便于对图像进行深入地研究分析,提高图像使用率。着色技术可应用于古画修复、医学灰度图像着色等方面。本文研究基于偏微分方程的图像去噪方法和基于变分的图像着色方法。主要研究内容和创新点如下:针对图像去噪问题,二阶偏微分方程在去噪的同时可以有效保留图像边界,但去噪后的图像存在“阶梯效应”,为了解决“阶梯效应”的问题,本文提出了两个新的四阶偏微分方程图像去噪模型。利用有限差分法进行数值计算,然后分别对不同的图像进行MATLAB仿真实验,并用峰值信噪比、信噪比、平均结构相似度进行数值对比。实验中,所提第一个模型采用人工调试阈值的方法,第二个模型通过编程实现基于直方图的自适应阈值选取。实验分析结果说明,提出的两个新模型均能有效去除乘性噪声,保留图像边缘。针对图像着色问题,已有的着色方法经常存在颜色越界或着色不均匀现象,而且对于彩色图像,各个通道之间的耦合方式也会影响图像着色效果。为了解决图像着色过程中多个通道之间的耦合问题,防止颜色越界现象的产生,本文在YCbCr颜色空间中提出了一种新的基于自然矢量全变分TV_J的图像着色模型。TV_J对所有通道仅支持一个共同的边缘方向,可以更好地保留图像的彩色边缘,同时,所提模型在YCbCr颜色空间中是凸模型,对于初始值不敏感,具有很好的鲁棒性。文中首先给出了所提模型的解的存在性。然后利用原始对偶算法求解所提模型,同时说明了算法的收敛性。最后,通过和其他模型进行实验对比,并用峰值信噪比、均方误差、平均结构相似度、四元数结构相似度进行数值比较,说明无论对于结构图像还是纹理图像,所提模型在有效保留图像边缘、减少颜色越界方面具有一定的优势。