矩阵方程是一个重要的研究课题,在系统理论、自动控制、稳定性理论和优化理论等领域有着广泛的应用。本文将围绕Sylvester矩阵方程的相关问题进行研究。首先,研究了2可逆的交换环上的T-Sylvester矩阵方程的可解性问题。通过将问题转化到Artin环上,构造两个模并建立它们之间的映射来分析问题。推广了复数域上Wimmer给出的关于T-Sylvester矩阵方程有解的充要条件。还讨论了离散形式的T-Sylvester矩阵方程的可解性,给出了其存在解的充要条件。其次,研究了域上的一元多项式环F[λ]上的广义Sylvester矩阵方程的可解性以及解的性质。通过矩阵多项式的带余除法将问题转化为在低次的情形下讨论域上的一元多项式环上的广义Sylvester矩阵方程解的问题。利用矩阵张量积的相关技巧得到了多项式环上的广义Sylvester矩阵方程有解的充要条件,使得问题转化为未知参数的个数较少的新的方程。再次,研究了广义Lyapunov算子的最大奇异值所对应奇异向量的对称性。构造了反例,指出关于经典的Lyapunov算子最大奇异值所对应奇异向量是对称矩阵的现有证明是错误的,因此这仍是一个猜测。证明了在矩阵阶数小于6的时候该猜测是正确的。对于广义Lyapunov算子在矩阵的阶数小于4时,证明了其最大奇异值所对应奇异向量可以取为对称矩阵。而当矩阵的阶数大于或等于4时,给出例子说明这并不总是成立的。最后,研究了离散型Lyapunov算子和广义Lyapunov算子的最小奇异值所对应奇异向量的对称性。在矩阵的阶数不大于2的情形,广义Lyapunov算子的最小奇异值所对应奇异向量总可以取为对称矩阵。而当阶数大于2时,给出例子说明这个奇异向量并不总是可以取为对称矩阵。证明了,对于稳定的矩阵对,广义的Lyapunov算子的的最小奇异值所对应奇异向量总是可以取为对称矩阵。