M.Gromov在其开创性文章“充填黎曼流形”中，证明了大量有趣的结果，并引入了许多新的几何不变量，其中两个重要的概念是充填半径和充填体积。充填半径是许多重要工作的一个基本要素，例如R.Greene和P.Petersen通过充填半径的下估计改进了一些有限性定理，F.Wilhelm对带有大充填半径的正曲率流形，获得了很好的结果。“这两个不变量很有可能在黎曼几何的未来发展中起重要作用”(M.Berger)。 本文旨在获得某些黎曼流形的充填半径、充填体积的下界，进而给出其应用。 这篇学位论文由三部分组成.在第1章，我们首先建立了充填半径的一个映射性质，利用这个性质我们证明了下面的定理A.对于任何闭的、定向的、非正曲率流形V，我们有FillRad(V)≥Injmax(V)/π·FillRad(Sn)≥Injmax(V)/4其中Injmax(V)=max{Injx(V)：x∈V}. 作为其推论，我们可以部分地回答Greene和Petersen的一个猜想：所有凸半径为π/2的黎曼流形V满足FillRad(V)≥FillRad(Sn). 推论B.Greene-Petersen猜想对非正曲率流形成立。我们也附带地建立了装填半径的一个映射性质，作为其推论，获得了一个微分球定理。 第2章旨在下估计充填体积，主要结果如下：定理C.设V是一个紧黎曼流形，且有相同的维数和第一Betti-数：dim(V)=b1(V)=n.如果V的Abel-Jacobi映射的度是±1，则存在一个常数cn＞0使得FillVol(V)＞cn·stsys1(V)n+1其中stsys1(V)是V的稳定1-systole. 定理D.设一个紧的、定向的黎曼n-流形V被划分q个n-单形：△n1，…，△nq，对任意x∈V，如果x到它所在的单形的(n-1)-面的距离之和≥δ，则存在一个常数cn＞0使得FillVol(V)＞cn·q·δn+1.此外，我们也给出了FillVol(Sn)的一个粗糙的下界，并对非正曲率的流形推导了一个Berger-型的充填不等式. 第3章旨在试探Gromov关于一致可缩黎曼流形体积增长的一个猜想，我们获得了部分结果：定理E.如果一致可缩的黎曼流形(M，g)K-拟等距于一个n维赋范空间(Vn，‖·‖)，(K≥1)，则有limR→∞infVolg(BallR)/Rnωn≥1/K2n其中ωn是单位欧氏球的体积. 推论F.如果Mn是一致可缩的并且dGH((M，dg)，(Vn，‖·‖＜∞，则M至少有欧氏体积增长。 此推论覆盖了D.Burago和S.Ivanov的一个结果。定理E的获得是受到了Gromov的—个体积增长定理的启发，本章也给出了此体积增长定理的一个详尽证明。我们使用相同的论证方法，推导了这个体积增长定理的一个一般化，它被Gromov指出，但没有证明。