稀疏表示是近几年发展起来的一门全新理论，其发展势头非常迅猛，已成为信号处理、人工智能、机器学习、大数据分析等领域的核心问题。稀疏表示的意义主要体现在两点上：第一，稀疏表示提供了解欠定方程的基本方法；第二，稀疏表示可以将自然信号在某种表示域下的稀疏性以先验信息的形式融入诸多信号处理任务中。众所周知，线性变换空间与矩阵空间是同构的，而诸多信号处理任务如图像去噪和去模糊都等价于求解欠定方程组，在传统框架下，此类问题很难解决，但在稀疏表示框架下则可以较为轻松的求解。关于第二点，在传统的信号处理框架下，自然信号的先验信息没有得到充分利用。自然信号的稀疏性是广泛存在的，这意味着我们可以在很多信号处理任务中建立起更高效的方案。　　本文主要针对稀疏表示及其在信号修复中的应用展开。信号修复是指对受到干扰的信号进行修复，恢复出原始信号。信号修复是信号处理中的一大难题，因为我们需要从有限的已知信息中推断出丢失或者受损信号。由于缺少全局性的先验信息，传统的信号修复方法需要建立复杂的模型，有时候不同的信号还对应不同的模型，而且普遍比较低效。信号在表示域的稀疏性作为一种广泛存在于各种自然信号中的先验信息，可以很好的代替传统方法，效果也远好于传统方法。本文主要分为以下几部分。　　第一，广泛研究了现存的各种稀疏表示模型，对其理论模型、可恢复性条件、测量数条件做了较为深入的研究。我们重点研究了稀疏向量模型，对其受不同类型噪声干扰时的恢复误差进行了较为深入的研究。　　第二，在临近算子和不动点理论的背景下，研究了一类临近迭代算法和加速临近迭代算法。我们发现，临近迭代算法可以保证单调性，而加速临近迭代算法反而不能保证单调性，但在一些信号修复问题中我们要求算法必须单调。为了解决这个问题，我们利用Krasnosel’ski–Mann定理巧妙的构造了单调化的加速临近迭代算法，给出了完整的证明过程。除此之外，我们发现单调化的加速临近迭代算法中的技巧——或者说策略，同样适用于一类2014年最新出现的加速交替方向乘子法和加速变向法，我们给出了详细的讨论。　　第三，将构造出来的单调化的加速临近迭代算法用于一维信号修复。主要考虑两类一维信号修复任务，即含噪声环境下的压缩感知信号修复，以及光纤光栅反射谱信号去噪问题。光纤光栅反射谱信号去噪问题是一维信号去噪问题里比较特殊的一类问题，因为它不但要求去噪结果要有较高的信噪比，而且去噪前后的峰值不能变化太多，为了解决此问题，我们在传统的l1范数模型上提出了利用加权l1范数模型，对模型的有效性进行了详细的论证，并给出了大量的仿真结果。仿真结果表明，加权l1范数可以进一步提高标准l1范数模型的效果，不但具有非常高的峰值信噪比，还能有效克制峰值位移，峰值位移只有10-3nm，而传统的数字滤波法和小波滤波法则高达0.2nm。因此本文算法对比传统算法有着巨大的潜在优势。　　第四，将构造出来的单调化的加速临近迭代算法用于图像修复。首先回顾了传统方法，即交替方向乘子法，将其应用于图像去雨线问题。仿真表明，此方法还不是很稳定。然后将单调化的加速临近迭代算法用于图像去噪，我们开发了一种新的变量分裂方法对全变差范数进行分裂，变量分裂后的全变差模型比较容易求解，我们将此方法用于高斯噪声去除和去模糊。为了去除图像中的脉冲噪声，我们构造了TV-l1模型。为了求解此模型，我们引入函数平滑技术，建立了TV_Moreau-l1模型，然后结合单调化的加速临近迭代算法求解此模型。此外，我们还给出了以小波作为稀疏基的l1-l1模型，详细地给出了算法的构造和求解过程。第四部分是关于图像去模糊问题，图像去模糊问题是当前反问题领域最具挑战性的难题，我们给出了两种模型，对其构造和求解过程进行了细致的阐述，并分别与单调化的加速临近迭代算法结合。然后是图像修补问题，我们创造了一种多基模型用于图像修补，并完整地给出了算法的构造和求解过程。　　第六章讨论了一类图像重建问题，即基于压缩感知的MRI图像重建、稀疏CT图像重建以及图像超分辨率重建。观察到这三个问题在稀疏表示的理论框架下有相似的数学模型，将三个问题归纳为一个问题，然后结合单调化的加速临近迭代算法给出了问题的解。本文方法可以较好地完成2倍分辨率重建任务，重建图像的峰值信噪比很高。当目前还不能实现3倍分辨率重建，这是下一步需要面对的问题。