准晶是近二十年来发现的一种新的固体结构和新材料,其弹性问题的刻画不仅需要描写晶格振动的声子场,而且是相互耦合的.所以,准晶弹性较经典的一般晶体的弹性复杂的多.关于准晶弹性与缺陷问题的研究,前人已提出了一些求解方法,如Green函数法、Fourier变换法和摄动法等,但对准晶弹性的复变方法只在一些最简单的情形下(如一维六方准晶周期平面内的弹性问题)进行了研究.由于各种方法都有各自的优点和局限性,因此,研究准晶弹性的复变方法是必要的.复变函数方法是经典弹性理论的基本方法之一,是求解平面弹性与缺陷问题解析解的非常有效的方法.本文第二章通过构造新的保角映射函数,充分利用Cauchy积分公式和解析函数的优越性质,研究了一维六方准晶在垂直于准周期方向的平面内受斜拉伸与剪切作用的椭圆孔口问题.线弹性断裂力学(LEFM)是断裂理论中最早的、也是发展最完善的一个分支.其主要任务是确定构造裂纹尖端的应力强度因子.Westergaard应力函数方法、Muskhelishvili方法作为解决线弹性断裂力学问题的两种方法,在其发展中起过重要作用.Muskhelishvili方法将平面弹性问题转化为求解满足一定边界条件的两个复势函数? ( z),ψ( z).在求解平面孔洞或裂纹问题的各种方法中,复变函数方法(Muskhelishvili方法及其推广)最简单和最严格.Muskhelishvili方法及其推广,都是基于一个保角映射函数,把物理平面上的区域映射成相平面上的单位圆的内部(或外部)或上半平面(或下半平面)去求解.只要保角变换函数能找到,缺口或裂纹问题的解在原则上就能求出来,虽然计算有时很复杂,这种方法称为保角映射法.本文研究了一维六方准晶在垂直于准周期方向的平面内受斜拉伸作用与剪切作用的椭圆孔口问题.给出了声子场与相位子场应力分量的解析解.