近几十年来,不可压缩流和多孔介质流的耦合问题引起了广泛的关注。在许多学科中都存在这种复杂的物理现象,例如地质科学和生命科学。河流与地下水的相互渗透以及血液在血管和器官之间的渗透问题都属于典型的例子。在一定的假设下,我们可以将不可压缩流和多孔介质流问题分别进行数学建模,成为Navier-Stokes方程和Darcy方程。然而,此类型的耦合问题在数值求解上存在着许多困难。首先,在两种流体的交界面上存在分别来自两种模型的变量,这对我们的数学建模和数值求解造成了一定的困难。第二,局部区域上的Navier-Stokes方程方程本身就是非线性的。所以,在数值求解过程中需要采用迭代方法求解。第三,区域耦合问题在交界面上流体的切向速度不连续,变分形式中的积分项在交界上要比区域内部少一维,要保证不降低解的正则性和逼近误差阶都有不小的难度。在本文中,我们在交界面上采用流量连续条件,力的平衡条件和Beavers-Joseph-Saffman交界面条件[43-45]。对这个问题的研究可以追溯到上世界90年代[41,72]的工作,当时还仅限于对问题进行数值计算,并且两篇文章在两区域交界面上都选择使用Beavers-Joseph条件。Beavers-Joseph条件是由Beavers和Joseph [44]利用实验得出的自由流体在多孔介质界面附近切向流动规律,在此之前,人们普遍认为在多孔介质界面上流速满足粘滞条件。后来由Jones[37]将Beavers-Joseph条件推广到多维情形,并由Saffman [43]通过理论推导得出Beavers-Joseph条件的近似形式(Beavers-Joseph-Saffman条件)。耦合问题实际含有两层耦合含义。一是两区域间的耦合,在不同的区域上有不同的流动形、不同的传质系数和不同的源汇项,只在交界面上进行物理量的传递。二是流动方程和传质方程之间的耦合,通过流速和浓度彼此互相影响,因此这双重耦合会导致整个系统异常复杂。单区域内(特别是渗流区)的耦合流动和传质问题的工作已有很多[39,40,49,50,75-77],本文主要考虑区域耦合问题。一般来说,数值求解该多区域耦合问题的方法分为两大类。一类是直接法求解耦合问题,另一类是将两种不同的区域进行分离求解。在过去的儿十年当中,大量的直接求解方法不断涌现。Chidyagwai和Riviere在文献[6]中分别对Navier-Stokes和Darcy方程应用连续Galerkin有限元和非连续Galerkin有限元方法进行数值求解。在[1]中,Girault和Riviere对Navier-Stokes和Darcy方程均采用了非连续Galerkin有限元进行数值求解,并且给出了逼近误差分析。在[73]中,对于与时间相关的耦合方程,Cesmelioglu和Riviere提出了一种新的Crank-Nicolson/DG格式。为了进一步降低计算该耦合问题的计算成本,出现了许多基于区域分解的方法。Quarteroni和Valli在[13]中,对于多种区域分解方法进行了深入研究。Lagrange乘子方法[74]和界面松弛方法[38]也在区域分解多区域耦合问题中得到了广泛的应用。近些年来,两重网格方法在求解区域耦合问题中应用越来越广泛。在这些工作中,Mu和Xu做了相当重要的研究工作。他们在[8]中提出了对于Stokes/Darcy区域耦合问题的两重网格方法并给出了相应的H1范数误差估计,并且证明了当粗细网格满足h=H3/2时,两重网格算法可以和直接在细网格上求解该问题获得相同的逼近误差阶。之后,Mu和Xu继续研究了Navier-Stokes/Darcy区域耦合问题,并且在[9]中给出了两重网格算法和[8]中相同的H1范数误差估计。Cai和Mu在[25]中,对于Stokes/Darcy区域耦合问题,提出了一种基于[8]的多重网格算法。本文主要研究稳态Navier-Stokes/Darcy多区域耦合问题的多重网格算法。在这篇文章中,我们的主要结果有：1.构造了一种基于区域分解的两重网格算法。在实际数值求解耦合Navier-Stokes/Darcy方程时,会遇到很多数学和数值的困难。首先,耦合Navier-Stokes/Darcy方程经过有限元离散后为非线性系统,在数值求解时必须利用一些迭代方法求解,为了达到需要的数值精度需要进行大量的迭代步骤。其次,在实际求解中,我们往往需要高精度的数值结果,但是当我们不断加密网格来提高数值解精度的同时,离散后的耦合系统的规模不断增大,对我们的数值求解方法提出了更高的要求。本文构造了一种基于区域分解的两重网格算法,并且其误差分析和数值算例都验证了当我们采用的有限元空间为一阶精度时,只要粗细网格之间满足h=H2,则两重网格算法可以保证和直接法求解有相同的误差阶O(h)。当我们采用的有限元空间为二阶精度时,误差分析证明了当粗细网格之间满足h2=H3,两重网格算法和直接法求解具有相同的误差阶O(h2),并且数值算例表现出当h=H2时,两重网格算法保证和直接法求解具有相同的误差阶O(h2)。2.构造了一种从粗网格到细网格的投影方法。当我们利用文中构造的两重网格方法来离散求解耦合Navier-Stokes/Darcy方程时,交界面上的积分项中存在粗细网格中的不同的基函数。在装配线性系统时,由于粗细网格之间的不匹配,会带来数值积分单元匹配的困难。我们将粗网格上的数值解投影到细网格上后,不但可以简化数值积分的单元匹配,也保证了经过投影后,数值积分的精度,并且此方法在多重网格方法的求解中可以更有效地应用。3.构造了一种基于区域分解多重网格算法。基于区域分的两重网格算法,本文构造的多重网格算法并给出了数值算例。当我们采用一阶精度有限元空间时,数值结果以及误差分析证实了只要网格精度满足hj=hj-12时,多重网格算法保证了和直接法相同的误差阶O(hj)。在有限元空间为二阶精度的情况下,误差分析证明了当粗细网格精度为hj2=hj-13时,多重网格算法保证了和直接法相同的误差阶O(hj2),而数值结果证实当粗细网格精度为hj=hj-12时,多重网格算法保证了和直接法相同的误差阶O(hj2)。本文组织结构如下：第一章为Navier-Stokes/Darcy耦合方程的概述。文中,我们介绍了Navier-Stokes/Darcy耦合方程的背景、关于该问题的主要研究成果、稳态Navier-Stokes/Darcy区域耦合模型以及有限元方法基础知识。在第二章中,我们给出了稳态Navier-Stokes/Darcy区域耦合模型的弱形式,进行了有限离散,在一阶精度和二阶精度有限元空间下,给出了直接法求解该问题的L2和H1范数误差估计。之后,我们分别选取了MINI有限元和Q2Q1有限元空间作为一阶和二阶精度有限元空间的例子,构造了它们在参考单元上的基函数,以及数值求解过程中的局部以及总体刚度矩阵。最后,我们给出了数值算例,并验证了误差分析结果。在第三章中,我们提出了一种区域分解的两重网格有限元方法。文章首先给出了算法,之后对其H1范数误差进行了估计,并分别证明在一阶和二阶精度有限元空间下,当粗细网格满足h=H2和h2=H3时,两重网格方法可以和直接法数值求解该问题保持相同的误差阶。最后给出的数值算例也验证了误差分析结果。在第四章中,我们提出了一种区域分解的多重网格有限元方法。文章首先给出了算法,之后对其H1范数误差进行了估计,并分别证明在一阶和二阶精度有限元空间下,当第j和j-1层网格满足hj=hj-12和hj2=hj-13时,两重网格方法可以和直接法数值求解该问题保持相同的误差阶。最后给出的数值算例也验证了误差分析结果。最后是本文的总结以及对未来工作的展望。