摘要：不定方程是数论中最古老的分支之一,丢番图早在3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.不定方程即方程中的未知数的个数多于方程的个数,它是数论中相当重要的组成部分.随着近几年各个学科的迅猛发展,不定方程也得到了空前的进步,不仅自身发展相当活跃,而且对其它学科(如生物学,物理学,经济学)也有很大的帮助,因此研究不定方程的相关问题对人们的生产,生活和工作都有着积极地作用,一致成为众多学者热衷研究的对象.研究不定方程要解决三个问题：①判断方程何时有解.②有解时判定解的个数.③求出所有的解.本文主要通过同余的相关理论和代数学的初等方法研究了两类不定方程和一类不定方程组的解的问题,具体内容安排如下：1.设p是奇素数,本文利用数论的初等方法证明了不定方程x(x+1)(x+2)=2p2y3没有正整数解.2.设N+是全体正整数的集合,设“,b,c是大于1且两两互素的正整数,方程αx+by=cz,x,y,z∈N+是一类基本而又重要的指数不定方程.1994年著名学者Terai对此方程解的问题提出了一些猜想,从而吸引了许多学者对其的深入研究与讨论.本文主要采用Gel’fond-Baker方法证明了：当α=m3-3m,b=3m2-1,c=m2+1,其中m是偶数时,如果m≥246,则方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,3).3.证明了不定方程组x2-6y2=1,y2-Dz2=4仅有非平凡解z=140.当其中,诸pi和qj是互异的奇素数,pi=5(mod8),qi=7(mod8),ι≤3.