【摘 要】
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时间分数阶发展方程在科学和工程等多个领域有着广泛的应用,包括流体力学,材料力学,生物学,化学等,分数阶算子能够更加准确地模拟各类复杂力学与物理行为。通常该类方程没有精确的解析解,因此研究分数阶发展方程高效数值算法已成为相关领域的前沿问题。本文主要采用有限差分方法对三类时间分数阶发展方程进行数值求解。首先,针对多项时间分数阶对流扩散问题,本文采用经典的显格式和隐格式建立了一类显式-隐式（E-I）差分
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时间分数阶发展方程在科学和工程等多个领域有着广泛的应用,包括流体力学,材料力学,生物学,化学等,分数阶算子能够更加准确地模拟各类复杂力学与物理行为。通常该类方程没有精确的解析解,因此研究分数阶发展方程高效数值算法已成为相关领域的前沿问题。本文主要采用有限差分方法对三类时间分数阶发展方程进行数值求解。首先,针对多项时间分数阶对流扩散问题,本文采用经典的显格式和隐格式建立了一类显式-隐式（E-I）差分格式和隐式-显式（I-E）差分格式。在理论分析方面,使用Fourier方法分析差分格式的稳定性和收敛性,证明了格式的无条件稳定性,时间2-α阶精度,空间2阶精度。在数值实现上,通过计算机编程对所提出的方法进行算法实现,验证了理论分析结果,说明了此类格式的有效性和经济性。然后,研究广义时间分数阶Fisher方程,从理论分析和数值试验两方面验证了 E-I差分格式和I-E差分格式的无条件稳定性和收敛性。在数值试验部分,验证了数值格式求解具有初始奇性广义时间分数阶Fisher方程的有效性。最后,研究了广义时间分数阶Burgers-Fisher方程的E-I差分格式和I-E差分格式,分析格式的线性稳定性。数值试验表明E-I差分格式的计算精度高于Haar小波格式,计算效率高于隐式格式,是求解该方程的一类高效差分格式。
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