最优控制问题可以理解为在满足状态方程,且能达到控制任务目标集的情况下,解出能使性能指标最小化的容许控制变量.将数值计算方法在求解最优控制问题上一直是一个被广泛研究的课题.偏微分方程约束的最优控制问题在工程、医学、生物学、工业等领域都有所应用,例如在流体力学、癌细胞追踪、金属冶炼过程等.本文中,针对使用有限差分方法及共轭梯度法、牛顿法求解椭圆最优控制问题得到的理论性质进行研究,并且通过数值实验验证了理论结果.本文的具体工作如下:针对线性椭圆最优控制问题,提出了带强Wolfe-powell线搜索准则的共轭梯度法.根据泛函的一阶变分,取定梯度,并构建共轭梯度.在迭代过程中,使用强Wolfe-powell线搜索条件限制迭代步长的取值,建立了求解分布式控制问题的共轭梯度法.该算法复杂度低,计算简单,非常适用于求解大规模问题.证明了共轭梯度下降的充分条件和迭代步长的存在性.同时,证明了该算法具有全局收敛性质并且有线性收敛速度,但其收敛速度会随着迭代次数增加而减少.最后在数值实验部分,使用了有限差分法,利用差分对微分进行离散近似,将偏微分方程转化为代数形式的差分方程,得到了离散的最优控制问题.并通过数值计算验证了算法的全局收敛性质及收敛速度性质.针对非线性椭圆最优控制问题,提出了全局收敛的半光滑牛顿法进行求解.通过极小值原理,将带约束的求泛函极小值问题转化为由状态方程,对偶状态方程及变分不等式组成的联立系统,并在此基础上推导出该问题的一阶必要最优性条件.在使用有限差分离散化后,给出离散系统的斜微分（slanting function）,由此确定了迭代方向的计算格式,得到了求解稀疏控制问题的半光滑牛顿法的迭代公式.而后通过非单调线搜索条件限制迭代步长的大小,建立了具有全局收敛性质的半光滑牛顿法.证明了该算法的全局收敛性,同时它还保留了原半光滑牛顿法的局部超线性收敛的性质.通过数值实验,验证了该算法的收敛性质.同时与半光滑牛顿法进行了对比,发现该算法在求解某些例子时有更快的收敛速度.最后将该方法与多重网格法结合,结果表明结合后的算法具有极高的效率.经过理论证明及实验验证,得出以下结论.首先线搜索准则的引入在大部分情况会使算法收敛速度下降,因为线搜索限制了迭代步长.但共轭梯度法引入线搜索准则后,其实验结果精确度明显比原共轭梯度法更精确.而且线搜索准则的引入使得改良后的半光滑牛顿法具有全局收敛性质.在实验部分验证了改良后的方法仍具有较高效率.