本文对使用弱Galerkin有限元（WG）方法求解线弹性方程进行研究.线弹性方程是一种经典的模型方程,由于其结构复杂,且其中的一些物理量需要满足一定的条件限制.因此,在对线弹性方程进行数值求解过程中会遇到很多困难.其中学者们普遍关注的三个问题为:1.应变张量定义的特殊性导致数值格式的强制性不易满足;2.由于线弹性方程的数值解具有一定的参数依赖性,而当弹性体趋于不可压缩时该参数无界;3.由于牛顿第三定律的限制,应力张量具有对称性,而保持应力张量对称的数值格式非常难以构造.本文使用WG方法对以上三个问题分别作出了解答.WG方法采用弱函数对未知函数进行近似.弱函数是WG方法特有的函数,它指的是一种分片间断多项式函数,它具有两部分{u0,ub},分别为定义在单元内部上的内部函数u0和定义在单元边界上的边界函数ub.内部函数和边界函数没有必然联系,两者作为基底或自由度时地位相同.对于这样定义的弱函数,我们借用分部积分的思想,定义弱函数的弱微分.以{u0,ub}的梯度为例,其弱梯度定义为（?）由于我们考虑的问题的真解是连续的,作为真解的近似函数,弱函数也要求有一定的连续性.这种单元之间函数的连续性由稳定子来刻画.稳定子是在定义变分问题的时候加入的一项代表单元之间的差异的双线性形式,一般格式为（?）具体问题不同,稳定子的定义形式稍有修改.由稳定子的定义可以看出,它是内部函数的延拓与边界函数在公共边上的差值的积分,当稳定子小时,弱函数具有一定的连续性.线弹性方程是一个经典的弹性力学方程.它描述弹性体在受外力作用时,体内的应变,应力以及位移之间的关系.线弹性方程是在一定假设条件下的弹性力学方程的简化,然而即便是简化的方程,它的求解仍然存在很多障碍.例如在有限元方法的研究中,数值格式的强制性,数值解的闭锁性以及应力张量的对称性等要求都给分析带来了很大困难.本文将研究如何使用WG方法克服上述困难求解线弹性问题.首先我们考虑关于位移变量的原始格式下的线弹性方程:（?）（?）,我们给出了其WG数值求解格式,证明了该格式的适定性并给出了误差方程.然而由此格式直接做误差分析,数值解与真解的误差会依赖于参数λ.当弹性体趋于不可压缩时,参数λ将趋于无穷.为了解决这一问题,我们引进一个混合格式:（?）（?）可以证明原始格式与混合格式下的WG数值格式是等价的,又由于我们证明了这个混合格式是无闭锁的,所以原始格式的WG数值格式也是无闭锁的.更近一步的,我们可以证明文中所给出的数值格式具有最优误差收敛阶,且我们通过数值实验验证了上述结论.由于应力张量是线弹性问题中人们关心的一个重要变量,且如果通过对位移向量求导来计算应力张量会降低解的精确性.因而我们考虑同时包含位移和应力两个变量的混合格式线弹性问题:（?）（?）（?）（?）这个混合格式与上一段中提到的混合格式不同,上一段的混合格式是为分析原始格式而构造的,这里提到的混合格式是由物体的平衡方程与本构方程推导出来的.由于牛顿第三定律的限制,应力是一个对称的矩阵值函数,这给有限元问题近似空间的构造带来了很大的困难.即使现在已有一些成功的例子,但都具有很强的技巧性.为解决这个问题,有两种方式:要求应力张量满足弱对称性,或采用非协调元.本文我们将采用第二种方式,使用WG方法对混合格式线弹性问题进行分析.我们给出了混合格式下的WG方法数值格式,证明了强制性和inf-sup条件.并给出了最优收敛阶分析和相应的数值实验.弱函数的使用使得WG方法具有构造简单,适用范围广等优点.但是同时这也牺牲了自由度.为减少计算量,我们考虑使用杂交弱有限元（HWG）方法优化上述混合格式的线弹性问题.该方法的思想是将内部的自由度化到边界上.具体算法为:先在全局边界上求解问题（?）得到边界值λh之后,再在每个单元上求解一个计算量很小的局部问题:（?）。