矩阵变量二次函数极小化问题,特别是其中一类困难的秩约束非凸问题,近年来受到了越来越广泛的关注。其在计量经济、统计、机器学习、图像处理等领域有着广泛的应用。本文主要对矩阵变量是对称半正定矩阵和非对称矩阵的秩约束二次函数极小化问题的数值算法进行研究。主要内容可以归纳如下：1.论文的第3和第4章主要讨论变量是对称半正定矩阵的秩约束二次极小化问题。首先利用秩约束等价于两个矩阵范数之差,转化原二次极小化问题为一个DC约束问题。该问题的约束规范的不成立导致理论上的障碍——经典序列凸近似(SCA)方法的收敛性无法保证。为克服转化问题的困难,在第3章引入松弛变量ε,构造了ε-松弛方法,并在理论上证明了该方法收敛,数值实验则验证了该方法是一个有效的数值方法。第4章中提出了另一种基于序列凸近似的非光滑方程的方法。该方法直接考虑与DC约束问题的最优性条件等价的三个非光滑方程。算法的基本思想是：首先固定一个变量,用两个方程迭代剩余的变量,然后在适当的条件下利用第三个方程更新原来固定的变量,并如此交替进行。该算法在论文中被证明是收敛的。需要指出,该算法可以推广到更复杂的带有H-权重的问题。大量的数值实验证明该方法非常高效。2.论文的第5章从秩函数替换的角度考虑问题。本章给出了矩阵秩函数的一种非光滑近似,并探讨了其微分性质。注意该函数可以从最初定义的对称矩阵利用对称化方法推广到非对称矩阵上。为了验证其有效性,将其分别应用到相关系数矩阵校正问题和矩阵补全问题中。数值实验验证了其可行性。3.论文的第6章通过对其Lagrange对偶理论的讨论来研究非对称低秩二次极小化问题。对该非凸问题,本章给出了其凸的Lagrange对偶问题的具体简洁的形式,并证明了其弱对偶性成立。进一步,还证明了在略强的条件下,强对偶性也成立。即在适当假设下,通过求解凸对偶问题,可以求解非凸的秩约束二次极小化问题。