随机动力系统,由于其工程应用的普遍性和重要的理论研究价值,受到工程技术人员和科学工作者的广泛关注,而对其首次穿越问题的研究,相比系统响应和稳定性研究,一直处于相对滞后的局面。考虑到首次穿越问题是随机动力系统研究中最困难课题之一,本文以相对容易处理的两类极端系统为研究对象,分别研究复杂网络系统的随机步行和单自由度的随机倒摆系统的首次穿越问题。复杂网络系统中的首次穿越问题即为用随机步行策略进行文件和数据搜索的搜索时间问题。本文研究了从起始点集到目标点集的搜索时间、多种随机步行策略在有向网络上搜索效率和不同度相关性无标度网络上的搜索时间。针对从起始点集到目标点集的搜索问题,通过转移概率密度矩阵导出了平均搜索时间的理论值,讨论了最近邻耦合网络、小世界网络和无标度网络上点集到点集之间的平均搜索时间的差别。为提高搜索效率,使用无三角形随机步行、无四边形随机步行、自我规避随机步行和避免路径反复随机步行搜索策略,研究了这些策略在有向网络上的规避效应,并与无向网络上的结果做了比较。针对度分布相同、度相关性不同的网络，采用无限制随机步行和择优自我规避随机步行两种策略,研究了搜索所需的时间。与度无相关性网络相比,在异配网络上搜索时间短,而在同配网络上耗时长。支点受高频谐和激励作用的单摆在倒立位置在一定条件下是稳定的,所谓单自由度随机倒摆系统首次穿越问题,即研究支点受到高频谐和激励和高斯白噪声联合激励作用下倒摆首次越出安全域的概率。本文分别用运动直接分离法和能量包线随机平均法处理系统的高频谐和激励和高斯白噪声激励。通过直接运动分离法,高频谐和激励转化为慢变运动控制方程中的等效非线性刚度项,由能量包线随机平均法得到控制条件可靠性函数的后向科莫哥洛夫方程。在相应的边界条件下求解该方程得到系统的条件可靠性函数和首次穿越时间的条件概率密度函数,所得结果和Monte-Carlo数值模拟结果十分吻合。