众所周知,数论是人类知识最古老的一个分支,然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的.而初等数论所包含的一个重要内容是研究数论函数的各种性质,著名的F.Smarandache函数S(n)是重要的数论函数之一,它和F.Smarandache教授提出的105个关于特殊数列、算术函数等未解决的数学问题及猜想引起了众多学者的兴趣.随着问题的提出,相继获得了许多具有重要理论价值的结果,其中关于平方补数和对偶函数的研究成果也是非常显著!本文研究了一些与数论函数相关的方程求解问题,以及与F.Smarandache未解决问题相关的均值问题,我们给出了方程的解和渐近公式.具体说来,本文的主要成果包括以下几方面:1.F.Smarandache平方补数有许多很重要的性质,与之相关的很多方程问题在数论研究中起到了重要的衔接作用,本文用哥德巴赫猜想的著名结果研究了一类包含平方补数方程的可解性,并证明了该方程有无穷多组正整数解.2.F.Smarandache函数的对偶函数S~*(n)是一类非常重要的可乘函数,它与F.Smarandache函数S(n)有很多类似的性质.本文研究了一类包含F.Smarandache对偶函数方程的可解性,并获得了该方程的所有正整数解.3.F.Smarandache函数S(n)在初等数论的研究中具有很重要的地位.本文利用初等方法研究了与Smarandache函数相关的方程的可解性.4.对于Smarandache LCM对偶函数,本文利用初等方法研究了关于SL(n!)的均值性质,并得到了一个较强的渐近公式,同时研究了与其相关的极限式的极值.