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低差分置换函数在密码学、编码理论、组合设计和图论等方面有重要和广泛的应用。例如低差分置换函数可以用来构造线性码、差集以及构造其它非线性密码函数等。密码算法中S盒的主要构件是布尔函数，而且S盒的主要作用是产生混淆。分组密码中为了抵抗差分攻击、线性攻击以及代数攻击，应用于S盒中的函数应具有低差分均匀度、高非线性度和高代数次数。例如AES算法中采用有限域F28中的差分4置换函数X-1。近年来人们提出的差分密码分析的一种变体回旋镖攻击，这种分析方法结合了分组密码的上下两层差分层。针对回旋镖攻击，函数的回旋镖均匀度也是S盒安全性的衡量指标之一。同时密码算法应具有可逆性要求函数应具有置换性。因此，研究具有高非线性度和高代数次数的低差分均匀度或低回旋镖均匀度的置换函数是一个非常有意义的课题。
针对S盒设计指标中的差分均匀度、回旋镖均匀度、置换性质、非线性度和代数次数，利用多变元方法并引入结式消元法研究了如下函数类：
1．利用分段函数法改变Dobbertin类的单项式函数在有限域F2n的一个子域上的函数值，构造了新的多项式型差分均匀度是4或6的置换函数，并确定了所构造函数的代数次数和非线性度的下界。
2．引入结式消元法，研究了有限域Fq中低次数置换多项式的回旋镖均匀度。特别地，确定了有限域Fq中所有次数≤6的规范化置换多项式的回旋镖均匀度。
3．利用多变元方法和解有限域F2n上特定形式的方程，构造了有限域F2n上形式简单明确的五类置换三项式。同时，通过解方程的方法构造了F2n(n-0(mod 4))上的一类置换三项式。
4．首先，利用多变元方法并引入结式消元法构造了有限域F33k上六类形式明确的置换三项式。其次，利用代数曲线给出了单项式f(x)=a-1Xq4+q2/2(a∈F*q)是Fq3中完全置换多项式的一个充分必要条件，其中q三7(mod 12)。因为q4+q2/2·(q2+q-1)三1(mod q3-1)，所以单项式xq4+q2/2的逆多项式是xq2+q-1。最后，利用多变元方法和结式消元法给出了单项式f(x)=A-1Xq2+q-1(A∈F*q3)是F3中的完全置换多项式的一个充分条件，其中q三1(mod 3)。而且四类置换多项式通过系数被部分刻画。同时满足条件q三3(mod 4)时，从这些构造的置换多项式导出多类二次型PN函数。
针对S盒设计指标中的差分均匀度、回旋镖均匀度、置换性质、非线性度和代数次数，利用多变元方法并引入结式消元法研究了如下函数类：
1．利用分段函数法改变Dobbertin类的单项式函数在有限域F2n的一个子域上的函数值，构造了新的多项式型差分均匀度是4或6的置换函数，并确定了所构造函数的代数次数和非线性度的下界。
2．引入结式消元法，研究了有限域Fq中低次数置换多项式的回旋镖均匀度。特别地，确定了有限域Fq中所有次数≤6的规范化置换多项式的回旋镖均匀度。
3．利用多变元方法和解有限域F2n上特定形式的方程，构造了有限域F2n上形式简单明确的五类置换三项式。同时，通过解方程的方法构造了F2n(n-0(mod 4))上的一类置换三项式。
4．首先，利用多变元方法并引入结式消元法构造了有限域F33k上六类形式明确的置换三项式。其次，利用代数曲线给出了单项式f(x)=a-1Xq4+q2/2(a∈F*q)是Fq3中完全置换多项式的一个充分必要条件，其中q三7(mod 12)。因为q4+q2/2·(q2+q-1)三1(mod q3-1)，所以单项式xq4+q2/2的逆多项式是xq2+q-1。最后，利用多变元方法和结式消元法给出了单项式f(x)=A-1Xq2+q-1(A∈F*q3)是F3中的完全置换多项式的一个充分条件，其中q三1(mod 3)。而且四类置换多项式通过系数被部分刻画。同时满足条件q三3(mod 4)时，从这些构造的置换多项式导出多类二次型PN函数。