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本文的主要研究调和函数的对数导数与Schwarz导数解析或调和的条件,以及相关的Schwarz导数范数理论.19世纪20年代,由于调和映射与极小曲面的紧密联系,微分几何学者开始对调和函数进行深入研究.本世纪初,Chuaqui,Duren和Osgood根据极小曲面的微分几何提出了关于平面调和函数的Schwarz导数的概念,将复平面上局部单叶的保向调和映射根据Weierstrass-Enneper提升公式提升到极小曲面,再将极小曲面上的Riemann度量作为共形度量,定义了平面调和映射的Schwarz导数,研究了单位圆到极小曲面之间映射的单叶性与Schwarz导数的关系.Chuaqui,Duren和Osgood定义的Schwarz导数要求调和映射的像区域可以提升为极小曲面,即其伸缩商必须是一个解析函数的平方,本身有一定的局限性.当伸缩商不是一个解析函数的平方时,该函数的Schwarz导数无意义.这是该定义的一个主要缺陷.为了避免平面调和映射的Schwarz导数关于伸缩商的要求,本文根据Dirichlet能量泛函E(f)=∫D(|fζ|2 +|fζ丨2)dζ的临界点定义,利用能量密度(|fζ|2+|fζ|2)作为共形度量密度,给出了复平面上单连通区域内局部单叶调和函数的对数导数与Schwarz导数的新定义,研究了对数导数、Schwarz导数以及Schwarz导数范数的一些相关性质.全文共分为四章.第一章,绪论.在这一章中,我们简要地回顾了平面调和函数理论发展的背景,介绍了调和函数、对数导数及Schwarz导数等相关的概念,给出了本文所用到的一些概念和记号,列出了本研究的主要结果.第二章,对数导数和Schwarz导数的性质.根据经典的单叶函数与Teichmuller理论,单连通区域上局部单叶的解析函数的Schwarz导数是解析的,并且容易推出局部单叶的解析函数的对数导数也是解析的,而且单连通区域上的全纯函数必定是某个局部单叶解析函数的Schwarz导数.调和函数是解析函数的自然推广,单连通区域上局部单叶的调和函数的对数导数与Schwarz导数是否解析或调和,是一个值得讨论的课题.在这章中,我们用反证的方法,讨论了本文所定义的对数导数与Schwarz导数各自解析或调和的条件,证明了:当且仅当伸缩商为常数时,单连通区域上局部单叶的调和函数的对数导数与Schwarz导数解析或调和.第三章,Schwarz导数的范数.1949年,Nehari开创性的研究发现了解析函数的Schwarz导数与函数单叶性之间的关系.在万有Teichmiiller空间理论中,引入了Schwarz导数范数和单叶性内径的概念.为了确定单连通区域在万有Teichmuller空间中的位置,可以利用Schwarz导数范数来计算区域的单叶性内径,需要对单叶函数的Schwarz导数范数进行估计.但对一个函数的Schwarz导数范数进行估计却不是件容易的事.在本章我们研究了这个问题,讨论了Schwarz导数范数的有界性,还得到了单位圆内凸调和函数的Schwarz导数范数估计.第四章,对数导数和共形度量密度的估计.我们把满足Nehari给出的单叶性准则的单叶解析函数称为函数Nehari族,研究了Nehari族的一些性质.在这章中,我们定义了与Nehari族相类似的单位圆内单叶调和函数族Hμ={f:||Sf||≤2μ},由此对对数导数和共形度量密度进行了估计。