随机微分方程在很多研究领域中有着重要的应用,在很多问题中,研究结果不仅依赖于当前时刻的状态,还依赖于过去某一时段的状态,因此对带有时滞的随机微分系统的研究也引起广大研究学者们的兴趣,并且在诸多学科取得了一定的建树,如力学、神经网络、微生物学、流行病学以及其他的诸多学科.在很多情况下,时滞微分方程比不含时滞的微分方程更能描述客观事物的变化规律.本文研究的随机比例微分方程是无限时滞随机微分方程的一种类型.稳定性分析是随机微分系统的一个重要的研究内容,主要包括几乎处处稳定性和矩稳定性.为了衡量稳定性衰减的速率,需要选取一个合适的衰减函数,常见的衰减函数有指数函数、多项式函数.微分系统的精确解不易得到,因此需要研究数值解重构精确解的稳定性问题,常见的数值格式有Euler-Maruyama(EM)格式、倒向EM格式、分裂分步θ格式、随机线性θ格式等.本文主要研究随机比例微分方程精确解与几种数值解的稳定性问题.本文首先研究了随机比例微分方程精确解的存在唯一性、几乎处处指数稳定性,EM及倒向EM两种数值格式的数值解的几乎处处指数稳定性充分性条件.EM数值解在漂移项满足线性增长条件时可以重构出精确解的几乎处处指数稳定性,而倒向EM数值解则可以完全重构出精确解的几乎处处指数稳定性.另外研究了两种θ格式(即分裂分步θ格式、随机线性θ格式)的几乎处处ψ型稳定性.可以发现当θ ∈[0,1/2]时,两种θ格式的数值解的几乎处处ψ型稳定性充分性条件相较于精确解需要扩散项满足线性增长条件,但当θ ∈(1/2,1]时则不需要.由于θ格式是隐格式,需要我们附加条件使得隐格式的解是存在唯一的.另外还可以发现,分裂分步θ数值解的Lyapunov指数要比随机线性θ数值解的Ly apunov指数大些.本文其次利用Razumikhin型技巧研究了随机比例微分方程的精确解与一般数值格式的数值解的矩多项式稳定性、矩Ψ型稳定性判定条件.利用Lyapunov直接法也得到了随机比例微分方程一般数值格式的数值解的矩Ψ型稳定性判定条件,通过比较可知,在研究解的矩Ψ型稳定性方面,Razumikhin型技巧要优于Lyapunov直接法,但我们在利用Razumikhin型技巧前,需要假设微分方程的精确解是存在唯一的.具体使用何种方法研究微分方程的解的矩稳定性,要视具体情况来判定.