从十七世纪到十九世纪后半期，人们设法用各种方法求微分方程（常微分方程和偏微分方程）的解，随着历史的发展，求解微分方程的边值问题遇到的困难越来越大，随着科学技术的发展和进步又提出大量的偏微分方程边值问题。偏微分方程边值问题起初研究直接来源于物理学和几何学的问题，后来发展到一门独立的分支。本课题针对生物学，物理学，生物化学等学科许多问题的研究归结为非线性偏微分方程边值问题的求解。其中，很大一类是椭圆型偏微分方程边值问题的求解，因而，探究这类方程边值问题解的存在性问题引起了许多数学工作者的极大兴趣。这类问题的解决可以对来自生物学。物理化学等学科提出的问题给予解答，但偏微分方程，尤其是非线性偏微分方程的复杂性与多样性使得这类问题的研究的难度很大。　　第一章简述了微分方程的可解性及边值问题的历史背景和发展，及本文的主要工作。　　第二章利用了上、下解方法，不动点定理等理论研究了带小边值条件的半线性椭圆型方程正解的存在性及不存在性。　　第三章研究了微分方程的定解问题，介绍了两种求微分方程近似解的方法，并给出具体实例进行验证。　　第四章总结与展望。