【摘 要】
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随机偏微分方程的研究涉及概率论、偏微分方程、无穷维分析等多个领域的交叉,同时在物理、生物、化学、金融等多个学科中也有着重要的应用,近年来已经成为概率论中发展非常迅
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随机偏微分方程的研究涉及概率论、偏微分方程、无穷维分析等多个领域的交叉,同时在物理、生物、化学、金融等多个学科中也有着重要的应用,近年来已经成为概率论中发展非常迅速的热门研究领域.本论文的第一个主要结果是利用推广的随机偏微分方程的变分框架[50,51]证明了一类随机磁流体动力学方程的适定性.本论文的第二个主要结果是在经典变分框架[41]下使用一类推广的增长性条件,运用Harnack不等式[48,49,74,75]等工具证明一类随机偏微分方程不变测度的存在唯一性、遍历性、转移半群的超压缩性和谱空隙的存在性等性质.作为应用,这些结果除了可用于经典的随机广义热方程、随机多孔介质方程和随机p-Laplace方程外,还适用于漂移项具有高阶扰动项的情形.本论文主要分为以下四个部分:第一章介绍了随机偏微分方程的一些相关背景知识、研究方法和发展现状,并综述了本文的主要结果.第二章简单回顾了本文研究中所涉及的一些基础知识,主要包括随机过程、无穷维随机分析中的基本概念和重要结果以及Markov半群的一些基本知识.第三章在推广的变分框架下证明了二维随机磁流体动力学方程解的存在唯一性.第四章利用Harnack不等式证明了一类系数满足推广的增长性条件的随机偏微分方程的遍历性及对应转移半群的超压缩性,并将主要结果应用到具体的随机偏微分方程模型.
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