近年,四辊轧机支承辊-工作辊及板带耦合轧制模拟,作为轧制理论的前沿课题亟待攻关解决。但是,其任务因微机上难以完成大规模运算而被搁置。本文以研究定量解析轧制工程等的快速数值解析方法为目的,将多极展开法(简称FMM)融合于边界元法(简称BEM),试图建立起适于大规模数值运算的快速多极边界元法(简称FM-BEM)的完整基础理论体系,并将FM-BEM应用到轧制工程等领域。在FM-BEM的具体实施过程中,寻求各种新形式的快速数值计算方法,使FM-BEM不断发展和得到补充,综合改造传统BEM的计算结构。本文共分六章。第1章绪论部分,分析了科学工程计算与计算方法的研究现状和发展趋势,概述了BEM和FMM的研究背景、发展历史、研究进展及现状,总结了其近年来取得的研究成果和发展方向,论述了FM-BEM的意义、研究进展和应用前景。第2章,构造了边界FM-BEM球面谐函数及数值计算公式,证明了边界FM-BEM基本定理。剖析FM-BEM的实现机制,给出具体的实施算法并开发FORTRAN源程序,建立起快速FM-BEM的理论框架,完善了三维结构体FMM-BEM的理论体系,从而为FM-BEM在轧制工程等领域中的进一步推广提供强有力的数学支撑。第3章,研究FM-BEM的数学机理,剖析了FMM与BEM结合的关键问题。分别推导了弹性问题、弹塑性问题和位势问题的FM-BEM基本解及相关核函数的计算公式,包括推导球坐标系下的偏导公式及与直角坐标的转化公式,并对基本解的等价性给出证明。第4章,研究Krylov子空间广义极小残值法(简称GMRES(m)算法)的机理并作理论推导,对工程用FM-BEM解的存在唯一性问题进行严格的理论分析和数学证明,为FM-BEM理论体系的形成及工程应用奠定数学基础。还提出改进算法收敛性的预条件GMRES(m)算法并对其正确性加以论证,使FM-BEM在轧制工程等领域中的应用前景更加广阔。第5章,对摩擦接触高度非线性问题,提出数学规划法求解的新思路,给出规划型三维弹性摩擦接触FM-BEM。建立了适于大规模快速计算的点-面摩擦接触最优化数学模型,给出优化GMRES(m)算法的求解策略,并开发研制FORTRAN源程序。通过数值实验证明,所给方法可显著提高计算效率,综合改造了传统BEM的计算结构。第6章,针对弹塑性迭代求解的繁杂费时问题,采用截断技术,提出一种基于FMM的规划-迭代型不完全广义极小残值法(简称IGMRES(m)算法)并建立了新算法的收敛性理论。数值实验和截断比较分析