自从二十世纪六十年代开始,随着电子设备和计算机技术的普及和提高,特别是多媒体技术和信息技术的迅速发展,图像处理问题得到了广泛的关注和研究,图像处理技术也愈来愈多的应用到计算机视觉与仿真、医疗诊断,遥感及天文观测等领域.目前图像处理的研究方法主要分以下三类：基于傅立叶与小波变换方法、基于概率和统计的方法以及基于变分偏微分方程的方法.尤其是基于PDE的图像处理方法,由于比传统的线性处理方法具有更好的准确性以及能直接处理一些图像特征,如梯度、几何曲率等,便于建立各种数学模型灵活表述而备受关注,在过去的二十几年中获得了巨大的发展.其研究领域包括：图像分割、图像去噪、去模糊(逆卷积)、图像分解、图像修补、图像重建以及图像纹理分类等.本文集中讨论了偏微分方程在图像去噪、图像分割两个方面的应用和研究,在前1-2章绪论和基础知识之后,主要工作和创新成果以如下次序介绍：在第3章中,针对图像去噪问题中经典的约束1ROF模型,提出了迭代乘子法来精确地求解KKT系统.首先由约束ROF模型建立Lagrange能量泛函,并从理论上分析了Lagrange泛函在固定乘子情况下的凸性、解的存在唯一性以及约束泛函关于乘子的单调性,通过在事先给定的包含约束泛函零点的乘子变量区间内组合二分法、割线法以及前后割线法的乘子更新算法来获得新的乘子,然后在此乘子下,利用具有Krylov子空间加速的多重网格方法求解Euler-Lagrange方程来判断此乘子下约束泛函符号,交替地执行这一过程最终实现求解KKT系统的解,实验结果表明了该方法具有良好的去噪效果,且相比于Landi的增广乘子法,特别是在光滑参数很小的情况下,具有很好的收敛性和计算效率.在第4章中,针对传统的算法求解图像分割3D Chan-Vese非凸模型的低效率性,我们提出了用多重网格方法来求解3D Chan-Vese模型.原来的2D多重网格光滑子不是十分有效的,本章中提出了三个新的光滑子来改进3D多重网格方法的性能,并通过局部Fourier分析讨论了新的光滑子消除高频振荡的效果.最终的结果显示了求解算法相比于Time Marching方法、AOS方法具有快的计算速度,而且还能获得非凸模型的全局极小解.在第5章中,针对在Chan-Vese模型和Badshah-Chen选择分割模型的全局图像特征统计导致所有相同特征的物体被提取的不足,提出了基于局部图像特征的图像选择分割方法.首先根据前一步水平集的零水平附近的图像特征由统计的方法确定局部化区域,这样局部化区域以外的图像特征不会影响水平集下一步的演化,特别地当零水平位于目标的边界时(此时统计出内外窄区域的特征变差都很小),附近的其它物体特征不会驾驭零水平的运动.数值实验表明了该方法能很好的提取出具有复杂结构的期望物体.在第6章中,推广了基于局部特征的2D选择分割方法到3D情形,针对其在3D情形下对初始演化轮廓更加严格,计算代价可能更高,提出了一种有效的3D初值构造策略.该策略利用用户在两到三个分片上提供的几个标记点首先构造一个近似于物体性质的多面形,由此多面形构造初始水平集从而相当少量的迭代步就能提取出期望的物体.此外结合Marching Tube方法以及多重网格方法水平集初始化来减少每一步的计算代价.从数值实验可以看出,提出的算法对3D医学器官的提取具有高的效率和性能.