【摘 要】
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本文重点研究非线性Kirchhoff型椭圆边值问题,这类问题在物理学和生物学中有重要的现实意义与广阔的应用前景.本文探讨含Sobolev临界指数项的Kirchhoff型椭圆边值问题(P_1)P_3(见绪论),考察这三类问题正解的相关性质,主要工作体现在如下两个方面:(1)本文研究一类含双重奇异项的Kirchhoff型临界椭圆边值问题(P_1),解决该问题将会遇到三个方面的困难:一是该问题中非局部项
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本文重点研究非线性Kirchhoff型椭圆边值问题,这类问题在物理学和生物学中有重要的现实意义与广阔的应用前景.本文探讨含Sobolev临界指数项的Kirchhoff型椭圆边值问题（P1）P3（见绪论）,考察这三类问题正解的相关性质,主要工作体现在如下两个方面:（1）本文研究一类含双重奇异项的Kirchhoff型临界椭圆边值问题（P1）,解决该问题将会遇到三个方面的困难:一是该问题中非局部项的出现使得方程本身不再点点恒等;二是由于该方程所对应的泛函含有Sobolev临界指数,从而方程不满足Palais-Smale紧性条件;三是负指数项的出现导致方程（P1）所对应的能量泛函不可微,并且泛函含有Hardy奇异项,从而导致不能直接应用标准的变分方法处理这类问题.本文通过应用Nehari流形、Lions集中紧性原理、Hardy不等式和Ekeland变分原理克服了上述困难,证明了方程（P1）在适当条件下正解的存在性与多重性.据我们所知,这些结果都还是新的.（2）我们首先考察含Sobolev临界指数项的Kirchhoff型椭圆系统（P2）,该类系统的特点是既含有非局部项又含有强耦合项,从而使得（P2）所对应的能量泛函不满足Palais-Smale紧性条件.其次,我们还研究了一类含齐次抽象项的Kirchhoff型椭圆系统（P3）,该系统中的非局部项和齐次临界抽象项的出现导致该问题更难处理.这使得我们不能应用经典的变分方法来解决这两类问题,本文通过应用Nehari流形、纤维映射、欧拉恒等式、齐次函数的性质以及临界点理论获得了这两类系统正解的存在性结果.上述结果推广和改进了近年来一些学者的研究成果.
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