这篇论文主要研究了三类问题: gradient generalized quasi-Einstein流形的分类;static space的分类; porous medium方程的梯度估计和Liouville定理。　　在第一章，研究了gradient generalized m-quasi-Einstein流形.也就是说，存在两个光滑函数f，λ使得Rij+fij-1/mfifj=λgij，其中m是常数。在紧致的gradient generalized m-quasi-Einstein流形上，我们首先得到了一些刚性结果。在Bach张量平坦的假设下，对于特殊的gradient generalized m-quasi-Einstein流形，我们得到了一些分类结果。特别的，维数是3时，我们得到了一些比较强的结果。　　在第二章，黎曼流形(Mn，g)上，存在光滑函数f满足方程fij=f Rij+λgij，其中Rij是Ricci曲率，λ是光滑函数.并且建立一个关系式fCijk=-1/n-1Dijk+Wijkfl。利用这个式子，在Bach张量平坦的假设下，我们得到了一些分类结果，这推广了[57]中的结果。特别的，对n=3时，如果Bach张量的散度是零，我们得到（Mn，g）是共形平坦的。　　在第三章，主要考虑Ricci曲率有下界的情况下，(Mn，g)上的porous medium方程ut=△（up），1＜p＜1+1/√n-1的正解的局部梯度估计。并且，我们也得到了Liouville型定理。特别的，我们得到的结果推广了[66]中的一些结果。