【摘 要】
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种群动力学是研究种群生态现象的一门学科,通过数学方法对种群模型进行分析,可以解释并预测种群的发展趋势.捕食-食饵模型作为种群动力学研究的重要模型之一,引起了众多生物学家和数学家的关注.特别地,有研究者提出时滞会对种群模型正解的稳定性、渐近性和周期性等产生影响,使得模型出现各种分支现象,该课题成为了许多研究者们的一个研究方向.随着非线性泛函分析和非线性偏微分方程的发展,使得人们对捕食-食饵模型的动力
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种群动力学是研究种群生态现象的一门学科,通过数学方法对种群模型进行分析,可以解释并预测种群的发展趋势.捕食-食饵模型作为种群动力学研究的重要模型之一,引起了众多生物学家和数学家的关注.特别地,有研究者提出时滞会对种群模型正解的稳定性、渐近性和周期性等产生影响,使得模型出现各种分支现象,该课题成为了许多研究者们的一个研究方向.随着非线性泛函分析和非线性偏微分方程的发展,使得人们对捕食-食饵模型的动力学行为的研究有更加全面和深入的了解,对保护生态平衡发展具有促进作用.本文主要分析了两类具有不同功能反应函数的捕食模型,利用反应扩散方程和椭圆型方程中的理论,对其动力学性质进行研究.所涉及到的数学方法包括上下解方法,局部分歧理论,度理论,最大值原理,线性化方法,规范型理论,中心流形定理,Harnack不等式和摄动理论等.本文的主要工作分为以下几个方面:第一章介绍了种群模型的研究背景及现状,并给出了本文后续会用到的一些基本定义.第二章研究了一类在齐次Dirichlet边界条件下具有修正的Leslie-Gower型的捕食-食饵模型正解的动力学行为.首先,运用不动点指数理论给出了正解存在的充分条件;其次,讨论了当参数m非常大时对模型正解的影响,证明了正解的唯一性和稳定性;最后,以a为分歧参数,通过分歧理论构造出模型正解的分支结构,并讨论了参数m适当大时模型正解的稳定性和多解性.第三章讨论了一类具有齐次Neumann边界条件的时滞扩散捕食系统.首先,对模型的特征方程进行线性化分析,讨论了模型不含时滞时正平衡解的稳定性;其次,将β作为分支参数,讨论了加上时滞项时模型正平衡解的稳定性,研究发现在参数的临界值上特征方程会出现一对纯虚根,此时Hopf分支出现;最后,由中心流形定理和规范型理论,确定了Hopf分支在临界值处的方向以及分支周期解的周期变化规律和稳定性.第四章研究了一类齐次Neumann边界条件下具有自扩散和交叉扩散项的捕食-食饵模型.首先,对模型进行线性化处理,分析了这两类扩散对其正平衡解的影响,研究发现交叉扩散会导致图灵不稳定的形成和消失;其次,通过最大值原理和Harnack不等式给出模型正平衡解的上界和下界的先验估计;最后,利用Leray-Schauder度理论对模型非常数正解的存在性进行分析.从研究结果可以看出,当交叉扩散a21充分大时,该捕食模型至少有一个非常数正解.
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