微分方程在力学、物理学、管理科学、经济学和生物学等许多实际问题中均具有广泛应用,本文主要研究微分方程在种群问题中的应用。如果种群的生命较长,各个世代彼此重叠,如人和很多脊椎动物、多年生植物等,可以近似地认为其种群增长是连续的,可用微分方程来描述该种群的发展变化规律。首先,生物经常从一地区转移到另一地区,这种地区之间的物种扩散,有利于各地生物群落的演替,丰富了每个地区物种的多样性。其次,物种之间相互作用也会影响物种的数量,其中捕食者-食饵是常见的相互作用。再次,任何物种都有成熟期,因此时滞对种群变化也起到重要的影响。上述现象可用偏微分方程或泛函微分方程进行刻画,因此,偏(泛函)微分方程的动力学行为的研究是一个极其重要的研究课题。在研究微分方程的解的定性理论中,分支问题是一个重要的方向,分支问题就是研究当参数(如种群的成熟期、环境容量或者捕食率等)变化经过某些临界值时,微分方程的解的定性结构和拓扑结构发生变化。本文主要通过使用微分方程中心流形理论、规范型方法、Hopf分支和稳态分支定理、特征值分析、上下解方法,以及极值原理、比较原理等,对几类连续种群的偏(泛函)微分方程模型进行了深入的研究。其主要的工作归纳如下:(1)对一类具有Ivlev型功能反应函数和Neumann边值的捕食者-食饵模型,通过分析特征值的分布证明了平衡点的局部稳定性和空间齐次周期解以及空间非齐次周期解的存在性,以及稳态分支的存在性。通过偏微分方程中心流形理论以及规范型方法分析了Hopf分支方向以及所分支出的周期解的稳定性。(2)对一类具有Ivlev型功能反应函数和Neumann边值的捕食者-食饵模型,研究了时滞对系统的动力学行为的影响。通过对特征方程的分析,讨论了非负平衡解的稳定性和Hopf分支的存在性。并且应用规范型方法以及中心流形理论,讨论了Hopf分支周期解的稳定性和分支周期解的分支方向。当时滞较小时,系统的共存态是稳定的,而当时滞经过一个临界值时,共存态失去其稳定性,进而当时滞经过一列临界值时,空间齐次和非齐次周期解从临界值处分支出来。(3)对一类具有强Allee效应和Neumann边值的捕食者-食饵系统,首先,我们通过构造上、下解方法和极限系统理论得到了具有强Allee效应的反应扩散方程整体解的存在性、唯一性,以及解的渐近行为,给出解的一个先验估计;并且证明了,当捕食者的初始值较大时,系统的解会趋于平衡点(0,0),即捕食者开始时数量太多,随着时间的推移,捕食者和食饵都会消亡。其次,文章通过特征值分析,讨论了每个平衡点的局部渐近稳定性。最后通过讨论特征方程的根的分布,研究了系统的Hopf分支问题和稳态分支问题。结论显示,强Allee效应丰富了系统的时空动力学行为,使模型对种群问题的刻画更加准确,结论更加符合实际。