众所周知，数论的一个重要内容就是研究数论函数的各种性质.一直以来，各个时代的数学家对于整数性质的研究都十分重视，并且做出了重大贡献，取得了许多数论方面的具有理论意义的研究成果.随着时代的发展，一些古老的数论问题被解决了，但是更多的新问题又会出现.著名的美籍罗马尼亚数学家Florentin Smarandache一生中提出了许多有趣的问题和猜想.1993年，他在《Onlv problems，not solutions》一书中提出了105个未解决的数论函数和序列等的问题及猜想，随着这些问题的提出.许多学者都对此进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果. 本文主要研究了一些数论函数的均值估计，以及一些包含Smaran(iache函数的特殊方程的正整数解的问题等.具体说来，本文的主要成果包括以下几方面： 1.研究了包含k次幂补数的级数.得到了两个有趣的恒等式.此外，我们研究了一个新的数论函数的均值性质，并给出了两个较强的渐近公式. 2.研究了包含数论函δk(n)特殊方程的可解性问题，并且得到了十分有趣的结果. 3.Smarandache函数S(n)在初等数论的研究中具有很重要的地位.本文利用初等方法研究两个包含Smarandache函数的特殊方程的解的存在性问题，并给出了方程的所有正整数解. 4.主要利用初等方法研究了一个包含伪Smarandache无平方因子函数的方程，并得到了十分有趣的结果.