非线性扩散方程在非线性科学理中具有较为广泛的应用该类方程描述了非线性扩散、溶质渗透理论、相变原理理论、生物化学和生物群体动力学等现象。在大多数情况下非线性扩散方程中都存在着严重的退化,或其他非线性特性。研究者们陆续从不同角度出发、提出了高效的数值方法。本文主要研究高效、快速的数值方法求解三种类型的非线性扩散方程:首先对带有Dirichlet边界条件的二维半线性抛物型方程给出二阶中心差分格式,利用Kronecker积写出二维拉普拉斯算子的微分矩阵;应用Crank-Nicolson方法进行时间离散,采用Picard迭代求解离散得到非线性代数方程组;结合快速离散正弦变换进行求解,大大提高了计算效率,。其次对带有Dirichlet边界条件的d维（d=1,2,3）泊松方程,发展一类快速求解方法。该方法采用有限差分方法将方程离散,利用Kronecker积的性质将离散后的方程进行矩阵分解;应用快速离散正弦变换（DST）方法进行有效求解;比较三种情形下使用DST方法和不使用DST方法下的计算速度以及误差。最后对齐次Neumann边界条件下的三维非线性反应扩散方程构造出解决该方程的快速傅里叶变换（FFT）数值方法。应用有限差分方法给出二阶中心差分格式;对三维拉普拉斯算子的微分矩阵对角化处理,在时间离散上采用CrankNicolson方法;结合快速傅里叶变换（FFT）快速求解非线性代数方程组,表明该方法在同时保持高精度、高维度的情形下,依然可以阶梯式减少存储量并大幅度降低了CPU计算时间。本文在第一章介绍了研究背景即非线性扩散方程的基础概念与知识概要,叙述了国内外研究现状与发展,提出本研究的实用价值、特色点及创新点。第二章给出拉普拉斯微分矩阵的推导过程,给出了后续文章中所涉及的概念与性质定理等;第三章研究半线性抛物型方程快速离散正弦变换的数值方法;第四章对d维（d=1,2,3）泊松方程利用有限差分方法进行求解,并比较三种情形下两种计算方法下的计算速度以及误差;第五章基于快速傅里叶变换（FFT）对三维反应扩散方程进行有限差分方法的求解,对精确解进行精确度测试和稳定性检验。