在化学理论中,拓扑指标可以用来理解混合物的物理和化学性质,不同的指标反映了分子的不同性能.分子拓扑指标以及分子图的不变量的研究是化学图论中的研究领域之一.简单无向图G=(V,E)的每个顶点代表分子中的一个原子,每条边代表原子间形成的化学键,这种图就叫做分子图.分子图中顶点数、边数等都可以作为分子中的一些稳定不变量.在实际应用中,通常用不同的数值来描述分子的不同的可测量的物理化学性质,所以为了将分子的拓扑性质与分子的可测量的物理化学性质联系起来,很有必要引入一些可以用数值表示的量,并且他们与分子图中的某些性质有关,分子拓扑指标在物理、化学和生物等许多学科有重要的用途.令G=(V,E)是一个连通图.对于边e=uu∈E(G),令n。(e)为距u的距离比距v的距离近的点的个数,nv(e)为距v的距离比距u的距离近的点的个数.图G的点PI指标定义为PIv(G)=类似于图的点PI指标,图的点Co-PI指标定义图的PI指标和点PI指标已有较多的研究,而图的点Co-PI指标只有一些较为初步的研究.有关树、单圈图的点Co-PI指标的极图有很多有意义的问题值得进行研究.在本文中,首先我们得到了在树中具有最小的点Co-PI指标的图是路Pn,具有最大的点Co-PI指标的图是星Sn.同样我们也得到了在单圈图中具有最小的点Co-PI指标的图是圈Cn.当4≤n≤8时,具有最大的点Co-PI指标的单圈图是Un,3ω1(Sn-2)(三角形的其中一个顶点上连接一个星图)；当n≥8时,具有最大的点Co-PI指标的单圈图是四边形的其中一个顶点上连接一个星图).其次,我们给出了单圈图的点Co-PI指标的第二、第三、第四小和第二大值.最后,我们又在附录中给出了具有第三大和第四大值点Co-PI指标的单圈图.