二维时间分数阶慢扩散方程的ADI有限体积法

来源 :中国石油大学(华东) | 被引量 : 0次 | 上传用户:voodoochildzm
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1695年,德国数学家G.W Leibniz首次提出了导数为分数的情况,经过几百年的发展,分数阶微分方程已应用到很多领域中.经过各位学者长期的不懈努力,分数阶微积分理论和数值方法的研究得到很大的完善和快速的发展.与整数阶偏微分方程不同,我们很难能找到分数阶偏微分方程的解析解,因此在求解分数阶偏微分方程时,必须使用数值方法去得到方程的解.有限体积方法具有局部守恒性质,这种方法适合于保守型整数阶偏微分方程的建模和仿真.近年来,也有一些致力于研究分数阶扩散方程(FDEs)有限体积法近似的稳定性和收敛性分析.本文研究的是一类二维的时间分数阶慢扩散方程的有限体积方法.针对这类方程,本文将有限体积方法、ADI算法和快速计算方法应用于这类方程.本文共分为六章,下面介绍一下本文的主要内容:首先,概述了有关分数阶微分方程理论和数值方法的一些基本概念、引理和性质,又介绍了张继伟文章中有关Fast-FVM的一些知识.其次,本文研究了一类二维时间分数阶慢扩散方程,利用L1差值格式将时间分数阶导数进行离散,采用有限体积法进行积分,进而得到FVM格式,然后采用矩阵的形式进行数值实验,在时间和空间上分别得到了2-γ和2阶收敛.随后为了提高运算速度,在原方程上加入小的扰动项,构造了 ADI-FVM格式,在时间和空间上分别得到了min{2-γ,2γ}和2阶收敛.最后对FVM和ADIFVM格式进行数值模拟,证明了格式的稳定性和收敛性.FVM格式的存储量为N2+N Nt,计算量为Nt2N2,ADIFVM格式的存储量是N Nt,计算量是Nt2N.数值实验也证明了 ADIFVM格式能降低计算量,减少运行时间.然后,本文将张继伟在文章中提出的时间分数阶的离散格式应用其中,这种格式能有效降低存储量,减少运行时间.在此基础上,本文构造了 Fast-FVM格式和Fast-ADIFVM格式,Fast-FVM格式的存储量是N2+NNexp,计算量是N2NtNexp,Fast-ADIFVM格式的存储量是NNexp,计算量是NNtNexp,降低了存储量和运算量.并且误差和收敛阶和FVM、ADIFVM格式保持一致.数值实验证明了格式的稳定性和收敛性.最后,本文在FVM格式的基础上加入了其他的扰动项,构造了另外两种ADIFVM格式L1-ADIFVM格式和BD-ADIFVM格式.在时间上分别得到了min{1+2γ,2-γ}和min{1+γ,2-γ}收敛阶,空间上都得到了 2阶收敛阶.同时用数值实验证明了上述结论.
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