在信号处理领域中，压缩感知理论的研究与应用一直是一个热点.与传统的信号处理的方式相对比，基于压缩感知理论的信号处理的特点是在采样的过程中同时进行信号的压缩.基于压缩感知理论的采样频率远低于Nyquist-Shanon采样定理所要求的采样频率，有效的降低了信息传输和存贮的数据量.标准的压缩感知理论指出，当信号是稀疏的或者是在某个变换域下是稀疏的且测量矩阵满足一定的约束条件时，则从线性欠定系统中精确重构出原始信号便是可能的.实际应用中，人们所遇到的信号并非全都是稀疏或可压缩的，也可能是在某个框架意义下是稀疏或可压缩的，或者信号只是部分的具有稀疏性质.压缩感知理论的研究主要可以分为:信号的稀疏表示、测量矩阵的构造和重构算法的设计等三个方面.本文主要研究RIP性质及其推广形式在描述几类常见的信号的重构结果，以及在重构条件的建立中的应用和进一步研究.　　在标准的压缩感知理论的研究中，常用于描述重构结果的工具有测量矩阵的零空间性质(NSP)，互不干性质(MIP)，限制等距同构性质(RIP)等.由于在信号的精确重构和近似重构中，限制等距同构性质在描述重构的理论结果时都有很好的表现，而且许多随机矩阵（如高斯随机矩阵和贝努利随机矩阵）都能以大概率满足限制等距同构性质，这使得限制等距同构性质的验证较互不相干性质和零空间性质更具操作性.因此，限制等距同构性质及其推广形式得到了广泛的关注和研究.　　本文在现有研究结果的基础上，进一步的研究信号重构的理论结果和保证重构的充分条件.侧重于研究以下几种信号类型的重构中RIP性质及其推广形式在描述信号重构的理论结果及重构条件的建立中的应用:1.具有稀疏性质或可压缩性质的信号重构;2.具有部分稀疏性质或部分可压缩性质的信号重构;3.在框架意义下具有稀疏性质或可压缩性质的信号重构.取得的主要结果如下:　　(i)在稀疏或可压缩信号重构问题中的RIP性质研究方面，本文证明p-RIP性质蕴含p-NSP性质，并利用p-RIP性质推导出在带测量误差的情况下，基于lp范数极小化模型的可压缩信号重构的一个充分条件.我们称该条件为p-RIP条件.本文还提出一个介于p-RIP性质与p-NSP性质之间的新的性质，即p-RIP-NSP性质.利用这个p-RIP-NSP性质，本文导出了一个保证lp范数极小化模型重构原始信号的充分条件，该条件比p-RIP条件弱.　　(ii)在具有部分稀疏性质或部分可压缩性质的信号重构问题中的RIP性质的研究方面，本文研究基于lp范数极小化松弛问题的信号重构理论.考虑到该模型的结构，我们提出部分-p-RIP性质和部分-p-NSP性质的概念.在此基础上，本文进一步导出了重构部分稀疏或部分可压缩信号的充分条件.该结果是对前面稀疏信号或可压缩信号的相应结论的推广.　　(iii)对于在框架意义下具有稀疏表示的信号重构问题中的RIP性质的研究方面，首先本文研究基于l1-分析模型的信号重构条件.借助D-RIP性质，我们刻画出一个确保重构原始信号的充分条件，称之为D-RIP条件，该条件在某种意义下是最佳的.　　(iv)对于在框架意义下具有稀疏表示的信号的重构问题，本文还考虑基于一般对偶框架的lp分析模型.我们先是在一般情况下建立了一个重构的充分条件，之后在假设信号f在某对偶框架下的分解系数(D)*f是稀疏的前提下，导出一个更简洁且与框架界无关的D-RIP条件.这些工作一定程度上推广和改进了现有的结论.