在过去的几十年，拓扑弦理论取得了重大进展，它对数学理论的发展产生了深刻的影响。柘扑弦理论揭示了很多令人惊异的数学结果，通过拓扑弦理论中的“对偶性”思想，看似不同的数学理论有着密切的联系。这篇论文分为三部分，内容涉及曲线模空间的相交性理论，纽结理论中的量子不变量，以及拓扑弦理论中B-模型理论。这三个方面通过拓扑弦理论中的两个对偶密切地联系在一起，即镜像对称和Chern-Simons/拓扑弦大N对偶。　　 拓扑弦理论有两种类型：A-模型和B-模型，他们通过镜像对称联系在一起。A-模型可通过数学中的Gromov-Witten理论来严格定义，但B-模型在一般情形下还没有严格的数学定义。这两种模型都有对应的开弦理论，其边界条件由D-膜来控制。在计算A-模型的Gromov-Witten不变量时用到的主要技巧是局部化方法，它将复杂模空间上的运算约化到更简单的模空间上。Gromov-Witten不变量的计算不可避免的会涉及到曲线模空间上的Hodge积分的计算。在论文的第一章，我们研究了曲线模空间上的相交理论，包括Hodge积分的递归结构以及曲线模空间的相交环中自然存在的关系。　　 当拓扑弦理论的目标空间是环簇Calabi-Yau3维流形时，Chern-Simons/拓扑弦大N对偶提供了Gromov-Witten不变量的新的计算方法。物理学家发展了拓扑顶点的粘合算法来计算环簇Calabi-Yau3维流形的Gromov-Witten不变量。其相应的数学理论是由中国数学家李俊，刘秋菊，刘克峰和周坚发展起来的。Witten在Chern-Simons量子场论的框架下，通过路径积分的办法定义了链环和3维流形的量子不变量。其严格的数学定义是由Reshetikhin和Tureav给出。本论文的第二章将研究量子不变量的一般渐进展开计算。　　 在前面的论述中，我们提到了拓扑弦的A-模型和B-模型可通过镜像对称联系在一起。当研究拓扑弦的散射振幅在Calabi-Yau模空间的不同相点展开时，B-模型有它的优势。因为它不仅可以计算在大半径极限时的展开，也可以计算在非几何点的展开，包括orbifold点和conifold点的展开。对于闭弦的情形，求解B-模型的主要办法是求解全纯反常方程组。由于全纯模糊量的存在，使得求解全纯反常方程方法组的有效性受到了限制，尽管在某些情形下，我们可以通过一些边界条件来确定出这种全纯模糊量。但是在开弦的情形，目前还没有这种边界条件来控制这些全纯模糊量。近来，V.Bouchard,A.Klemm,M.Marino和S.Pasquetti发展了Eynard和Orantin的拓扑递归方法来计算环簇Calabi-Yau3维流形的开弦和闭弦散射振幅。在第三章，我们详细回顾了这方面的最新进展。