随着非线性隔振器在工程中的广泛应用，非线性微分方程的求解及非线性隔振机理等方向成为非线性动力学领域的研究热点之一。非线性微分方程的解析求解研究一直是非线性动力学的一个主要内容。鉴于非线性微分方程的特点，没有统一而普遍适用的解析法。学者们提出和发展了很多近似解析法，如林滋泰德-庞加莱摄动法、谐波平衡法等，各有其特点及局限性。因此继续探索一些有效可行的近似解析法仍然是一项十分重要的工作。本硕士论文在全面归纳总结现有的近似解析方法的基础上，针对单自由度非线性微分方程的近似解法做了系统的研究，指出目前学界大部分学者普遍忽视的一个事实——在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，并分析了这些方法失效的原因。进而提出基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的FFT多谐波平衡法，并针对非线性隔振系统的阶跃响应多解特性、倍周期和拟周期响应特性做了深入的探索性研究。此外，本文在充分考虑非线性运动响应复杂性的基础上，对非线性系统隔振评估指标传递率做了改进。通过达芬算例验证，证明修正后的隔振评价指标更能真实的反映非线性系统的隔振效果。本文针对非线性系统的多平衡态、倍周期和拟周期响应等特性，分别采用FFT多谐波平衡法、单一谐波法及数值方法进行比较分析。通过算例分析，得到以下有意义的结论：1）非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统。2）FFT多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。3）应用FFT多谐波平衡法，采用修正的非线性隔振评价指标可以更精确地反映非线性隔振系统的隔振性能，为非线性系统隔振的理论分析提供了一个有效工具。此外，本文还探索研究了含阻尼的非线性系统自由振动，首次发现自由振动衰减过程中存在频率漂移现象。这个现象与航天部门在航天器导向尾翼模态试验的现象一致。频率漂移现象的发现为进一步的理论工作提供了抛砖引玉的作用,具有较大的理论意义和应用价值。