【摘 要】
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分数阶Laplace算子是非局部算子,它在金融、物理、医学、化学等多个领域都有应用.而奇异位势具有物理意义,如量子力学、分子物理、核物理、量子宇宙学等领域.与带有正则位势的偏微分方程相比,带有奇异位势会导致方程解的性质发生改变.而奇异位势有很多种表述,比如Coulomb势、Hardy位势.本文主要研究RN中含有Hardy项（奇异位势）和临界Hardy-Sobolev指数的分数阶椭圆方程,其中,0＜
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分数阶Laplace算子是非局部算子,它在金融、物理、医学、化学等多个领域都有应用.而奇异位势具有物理意义,如量子力学、分子物理、核物理、量子宇宙学等领域.与带有正则位势的偏微分方程相比,带有奇异位势会导致方程解的性质发生改变.而奇异位势有很多种表述,比如Coulomb势、Hardy位势.本文主要研究RN中含有Hardy项（奇异位势）和临界Hardy-Sobolev指数的分数阶椭圆方程,其中,0＜α＜2,0＜s＜α＜N,次临界指数 r 满足 1＜r＜2＜2α*（s）:=2（N-s）/N-α,2α*（s）:=2（N-s）/N-α是临界 Hardy-Sobolev 指数,0 ≤ γ＜γH（α）=2αΓ2（N+α/4）/Γ2（N-α）/4),γH（α）是 RN上最佳分数阶Hardy常数,k ≥ 0,V是给定的位势函数.通过对方程（1）进行分析,当K（x）,V（x）和r满足一定的条件时,我们运用Ekeland变分原理、Nehari流形和山路引理等方法,得到了方程（1）存在基态解以及多解性的结果.本文主要结构如下:在第一章,我们介绍研究目标的相关内容及其背景,给出本文需要用到的相关预备知识以及相应符号的定义和说明,同时介绍本文的两个主要结论.在第二章,我们首先给出七个相关引理.我们由引理可以得到,方程（1）有一个极小化序列,利用紧性定理证明极小化序列有强收敛的子列,得到方程（1）有一个基态解.在第三章,我们主要是研究k=0时的方程（1）的第二个解的存在性.因为当k=0时,方程（1）的第一个解仍然是基态解,并且该基态解也是局部最小解.首先,我们给出两个相关引理,引理3.1和引理3.2意在说明方程（1）相应的能量泛函I满足（PS）条件.然后,我们得到:存在充分大的t,使得I（u0+tv0）-I（u0）＜0.最后,我们运用山路引理证明了（1）方程存在第二个解.在第四章,我们对本文的研究结果做总结,并提出后续还可以研究的问题.比如我们可以考虑k＞0时的方程（1）解的多解性,以及下面的方程在ε→0时的渐近性质,讨论其解的均匀化、集中等现象
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