【摘 要】
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图的控制理论是图论领域中的一个重要研究分支,并在实际生活中应用广泛。由于与实际问题紧密相连,学者对图的各种控制参数进行了大量研究,根据不同实际背景提出了很多种不同的控制类型。本文研究的是含圈笛卡尔乘积图的3-彩虹控制数。确定图的3-彩虹控制数是NP-完全问题。笛卡尔乘积图是大规模网络拓扑结构图,在实际中应用广泛。因此,确定笛卡尔乘积图的3-彩虹控制数的精确值或者给出控制数较好的界具有理论意义和实用
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图的控制理论是图论领域中的一个重要研究分支,并在实际生活中应用广泛。由于与实际问题紧密相连,学者对图的各种控制参数进行了大量研究,根据不同实际背景提出了很多种不同的控制类型。本文研究的是含圈笛卡尔乘积图的3-彩虹控制数。确定图的3-彩虹控制数是NP-完全问题。笛卡尔乘积图是大规模网络拓扑结构图,在实际中应用广泛。因此,确定笛卡尔乘积图的3-彩虹控制数的精确值或者给出控制数较好的界具有理论意义和实用价值。本文研究了圈与圈笛卡尔乘积图Cn□Cm以及路径与圈笛卡尔乘积图Pn□Cm的3-彩虹控制数。对于Cn□Cm的3-彩虹控制数,根据图的正则性和对称性,研制出有效的分支定界条件,构造可递推的3-彩虹控制函数,通过计算函数的权重,得出Cn□Cm的3-彩虹控制数的上界。利用替代法和求和法证明了C3□Cm和C4□Cm的3-彩虹控制数下界等于其上界,从而确定了C3□Cm和C4□Cm的3-彩虹控制数的精确值。当n,m≥ 5时,给出了Cn□Cm的3-彩虹控制数的界。对于Pn□Cm的3-彩虹控制数,由于这类图不具有正则性以及良好的对称性,因此在研制分支定界条件时比较困难。通过对Pn□Cm的边缘顶点特殊处理,构造可递推的3-彩虹控制函数,从而得出Pn□Cm的3-彩虹控制数的上界。在3-彩虹控制数下界证明中,由于Pn□Cm不具有Cn□Cm的轮换对称性使得证明的难度增加。最终,我们证明了P3□Cm,P4□Cm,Pn□C3和Pn□C4的3-彩虹控制数下界等于其上界,确定了 3-彩虹控制数的精确值。当n,m≥5时,给出了Pn□Cm的3-彩虹控制数的界。
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