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有限体积元法(FVEM)也称广义差分法,控制体积法或盒式方法,是求解偏微分方程的主要数值离散方法之一.由于具有局部积分守恒性质,该方法能够保持质量,动量,能量等物理量的局部守恒性.因而,有限体积元法被广泛应用于流体力学,电磁学及石油工程等诸多领域.本文的工作包含了相对独立的两个部分.第一部分,针对二维定常对流扩散问题,研究了矩形网上的最优加权迎风有限体积法,并对常系数情形给出了方法的理论分析,包括方法的稳定性与H1模误差估计,最佳的L2模误差估计,以及离散的极值原理,其中最佳的L2估计是这部分工作最重要的贡献.第二部分,针对移动区域上时间依赖对流扩散问题,构造了ALE(Arbitrary Lagrangian-Eulerian)框架下的有限体积元法(ALE-FVEM),包括半离散与全离散格式,并讨论了格式的稳定性.第一部分工作,以二维的定常对流扩散问题为模型,研究了矩形网上双线性元最优加权迎风有限体积(元)法.最优加权迎风有限体积法于2006年已由梁栋教授与赵卫东教授提出(见文[64]).该方法的构造中用到了依赖于局部Peclet数的非标准对偶剖分,而这一局部Peclet数则是由对流速度,扩散系数及网格步长所决定.这一部分工作的主要目的就是对于求解常系数情形对流扩散问题的最优加权迎风有限体积法给出理论分析.首先,由于对偶剖分是非标准的,我们采纳单元分析技术证明了扩散项双线性形式的正定性,进而获得了最优加权迎风有限体积法的稳定性.然后,我们证明了最优的L2模误差估计,它是这部分工作最重要的结果.为了证明有限体积法的L2估计,Aubin-Nitsche技巧通常被使用,但因为此时的对偶剖分是非标准的,这一技巧此时并不适用.因此,我们借助第一类插值弱估计证明了最佳阶L2误差估计.而关于插值弱估计的证明,T aylor展开技术以及非标准对偶的特殊选取被使用.最后,在一定的网格剖分限制之下,我们证明了最优加权迎风有限体积格式满足离散极值原理,这保证了数值解将不会产生虚假振荡.第二部分工作,以移动区域上的时间依赖对流扩散问题为模型,首次提出了ALE框架下的有限体积元法.面对区域移动带来的求解困难,我们首先考虑使用ALE公式,得到了相应于原问题的非守恒型与守恒型ALE形式.为了构造ALE框架下的有限体积元法,一个保单元的离散ALE映射被使用.它可以将初始时刻空间区域上的三角形单元和以围绕原始单元顶点的重心型对偶单元映射到任意时刻区域上的三角形单元与对偶单元.并且借助于这一映射,初始区域上的线性元试探空间与分片常数检验空间,也可在任意时刻区域上被分别定义.进而,给出相应于非守恒型与守恒型的半离散ALE-FVEM,并分别证明了两种半离散格式的稳定性.基于方法的空间半离散化,使用隐式欧拉(IE)方法对时间方向进行离散,得到了三种全离散格式,分别是非守恒型ALE-FVEM全离散格式,守恒型ALE-FVEM全离散格式以及应用了几何守恒律(Geometry Conservation Laws,GCL)的守恒型ALE-FVEM全离散格式.对于提出的这三种时空离散化格式,我们也依次分析了其稳定性.在所有的稳定性证明中,固定区域上许多抛物方程有限体积法的分析技术被成功地推广到了移动区域.