功能梯度材料（FGMs）通常是由两种或多种完全不同的成分复合而成的一种新型复合材料,其有效材料参数可以在特定的方向上发生改变。由于其力学性能优异（如降低应力集中,优化应力分布）,功能梯度材料被用于制成众多行业中最常用和最重要的一些构件。功能梯度多层石墨烯增强复合材料是一种将石墨烯及其衍生物作为增强体添加到聚合物基体的新型复合材料,凭借着多层功能梯度GPLRC结构能够有效地结合功能梯度材料和石墨烯的优点,引起了研究人员的广泛关注。因此,对于由这些材料制成的构件在复杂的荷载（电磁荷载,机械荷载,热荷载）作用下表现出的各种力学行为的研究颇有意义。实验研究和分子动力学仿真得到的结果表明,纳米结构的力学行为具有小尺度效应、表面效应和量子效应。在几个纳米到几百纳米的范围内,小尺度效应和表面效应发挥着主导作用。因此,当构件或系统的尺寸在上述范围时,研究者必须要考虑小尺度效应和表面效应的影响。考虑到上面描述的这些特点,本文应用非经典连续介质力学理论、弹性理论叠加原理、二次摄动—伽辽金混合法等知识建立起相应的力学-数学模型,系统地研究了直梁,圆管,曲梁,矩形板在纳米尺度的非线性力学行为（非线性振动,跳跃屈曲,后屈曲）,主要的研究工作如下:首先,本文在非局部应变梯度理论框架下,研究了不同功能梯度分布形式下梁的非线性振动问题。它们分别是自底向上功能梯度分布梁、由内而外功能梯度分布梁和镜面对称功能梯度分布梁。后两种分布形式功能梯度梁,与定常温度场中简支端下热载荷和机械载荷共同作用的均匀各向同性材料制成的梁比较,两者的边界条件完全匹配。本文了提出假设和近似模型,确定FGM梁的有效材料参数,然后利用满足应力边界条件的不同位移函数和广义变分原理推导出热载荷下功能梯度纳米梁的非线性振动控制方程,并通过二次摄动—伽辽金法求解了该方程组。基于获得的渐进解析解,详细研究了各种参数对非线性振动问题的影响,包括温度、非局部参数、应变梯度参数、尺度参数比、长细比、体积指数和各种功能梯度分布类型。结果证明,可以用两种新的方式来改变复合梁的线性和非线性频率。接着,本文使用一个无需考虑剪切修正系数的空心圆柱位移函数,结合着广义变分原理和非局部应变梯度理论建立了简支端边界条件下受热荷载的功能梯度纳米圆管的力学—数学模型,并利用摄动法和变分法给出了方程的解析解。基于该解析解,讨论了横向剪切变形、材料的温度相关性、功能梯度指数和圆管内半径等对功能梯度圆管线性频率和非线性频率的影响。进一步地,本文研究了具有几何缺陷的单层石墨烯薄板的非线性轴向屈曲和后屈曲。结合广义变分原理和非局部应变梯度理论,建立四边简支的纳米板模型,以摄动法为求解手段,导出了以最大无量纲挠度为摄动参数的的后屈曲平衡路径的六级渐进解析表达式。研究表明,尺寸依赖效应和几何缺陷都是不可忽视的。最后,在非局部应变梯度理论和表面弹性理论的框架下,本文建立了弯曲纳米梁屈曲分析的统一尺寸依赖模型。该模型能够同时捕获非局部效应、应变梯度效应和表面能效应。此外,通过选择合适的形函数,该模型不仅可以简化为Euler梁模型和Timoshenko梁模型,还可以简化为高阶剪切Reddy梁模型。利用该模型详细研究了具有几何缺陷（初始几何缺陷）的功能梯度多层石墨烯平板增强复合弯曲纳米梁的跳跃性屈曲。研究结果表明,跳跃屈曲发生的可能性,随着缺陷参数与初始几何尺寸增大变得越来越大;此外,相比于其他石墨烯分布模式的曲梁,受X-GPLRC分布模式的曲梁拥有最高的结构承载能力;最后,纳米结构有效刚度及跳跃屈曲现象的触发主要受表面效应的影响,并且依赖于非局部效应和微观结构效应的综合影响。