随着人类社会的发展和科学技术的不断进步,随机微分方程(SDEs)和随机偏微分方程(SPDEs)在生物、金融、物理、化学、医学以及工程等领域发挥着越来越重要的作用.通常情况下,大多数SDEs和SPDEs的显式的解析解很难获得,因此,构造适当的数值算法求解SDEs和SPDEs具有十分重要的理论意义和实际应用价值.本文的研究内容有两部分组成.第一部分研究两类跳扩散随机微分方程(JSDEs)的数值算法的强收敛性分析和误差估计.首先对漂移系数只满足单边Lipschitz条件和局部Lipschitz条件的JSDEs,研究分析一类随机分步θ-格式的强收敛性和误差估计,理论结果通过数值试验得到进一步验证;其次,对于两类金融模型(跳扩散CIR和跳扩散CEV模型),研究得到模型解的解析性质,即真解的存在唯一性,取正值性和矩的有界性,进而构造数值求解该类模型的变换跳适应向后欧拉方法(TJABEM),并严格证明所提数值方法的保正性和一阶强收敛性,数值试验对所得理论结果作了验证.第二部分研究SPDEs的数值算法的构造和误差分析.首先,在半群框架下,对一类由高斯和非高斯噪声共同驱动的SPDEs,研究得到SPDEs解析解的时空正则性,进而提出数值求解该类SPDEs的空间半离散格式和时空全离散格式,并严格证明所提半离散格式和全离散格式的强收敛性;其次,在变分框架下,研究一类SPDEs的强逼近数值分析,在SPDEs存在唯一解析解的基础上,进一步研究得到解析解的正则性,提出数值求解该类SPDEs空间半离散格式和时空全离散格式,严格理论分析了所提格式的强收敛性;最后,对一类倒向SPDEs,构造了半离散有限元逼近格式,严格理论分析了该格式的强收敛性并得到了均方意义下的误差估计.论文的主要贡献及创新(1)研究一类数值求解非线性JSDEs的随机分步θ-格式的误差估计,严格理论证明了该类数值格式在JSDEs的漂移系数不满足全局Lipschitz条件情形下的强收敛性并得到相应的误差估计,该研究成果已公开发表在SCI杂志Adv.Appl.Math.Mech.[118].(2)研究提出数值求解两类金融模型(跳扩散CIR和跳扩散CEV模型)的变换跳适应向后欧拉方法(TJABEM).我们克服了上述两类金融模型扩散系数不满足全局Lipschitz条件和模型解取正值所带来的研究困难,严格理论证明了该数值方法的保正性和一阶强收敛性.该研究成果已公开发表在SCI杂志Numer.Algorithms[117].(3)在半群框架下,对一类由高斯和非高斯噪声共同驱动的SPDEs,研究得到其解析解的时间正则性和空间正则性,提出求解该类SPDEs的空间半离散数值格式和时空全离散数值格式,严格理论证明了所提数值格式的强收敛性并得到相应的误差估计.该研究成果已公开发表在SCI杂志Appl.Math.Comput.[120].(4)在变分框架下,对一类SPDEs,研究得到其解析解的存在唯一性和时间正则性,提出数值求解该类SPDEs的空间半离散格式和时空全离散格式,严格理论证明了所提数值格式的强收敛性并得到相应的误差估计.该研究成果已完成待发表[77,78].(5)倒向SPDEs的数值计算方面的研究工作,到目前为止还十分稀缺.针对一类倒向SPDEs,我们研究提出求解该类SPDEs的有限元空间半离散格式,严格理论证明了所提格式的强收敛性并得到相应的误差估计.该研究成果已投稿待发表[119].论文的框架本博士学位论文由以下七章组成.第一章引言介绍本文研究问题的背景,研究动机和研究现状,以及随机计算的相关概念.第二章预备知识介绍无穷维随机分析的一些基础知识包括Hilbert空间取值的随机变量和随机过程,相关算子理论,高斯测度和无穷维Wiener过程,Poisson随机测度,关于Q-Wiener过程的Ito随机积分以及关于补偿Poisson随机测度的Ito随机积分.罗列了本文用到的一些重要公式和重要不等式.第三章跳扩散随机微分方程的随机分步θ-格式的误差分析针对一类漂移系数只满足单边,Lipschitz条件和局部Lipschitz条件的JSDEs,研究了数值求解上述JSDEs的一类随机分步θ-格式.严格证明了格式的强收敛性,得到了相应的误差估计,最后通过数值试验验证所得理论结果.本章研究内容主要来自XU YANG AND WEIDONG ZHAO,Strong convergence analysis of split-stepθ-scheme for nonlinear stochastic differential equations with jumps,Adv.Appl.Math.Mech.,8(6),pp.1004-1022,2016.(SCI)第四章两类金融模型的保正性算法及其收敛性分析主要研究两类金融模型-跳扩散CIR和跳扩散CEV模型的保正性算法及其收敛性分析.首先研究得到了模型真解的存在唯一性,取正值性和矩的有界性的结果.提出求解上述模型的变换跳适应向后欧拉方法(TJABEM),给出了TJABEM的保正性和一阶强收敛的严格证明,并通过数值试验进一步验证了TJABEM的保正性和一阶强收敛性.本章研究内容主要来自XU YANG AND XIAOJIE WANG,A transformed,jump-adapted backwa,rd Euler method for jump-extended CIR and CEV models,Numer.Algorithms,74,pp.387-404,2017.(SCI)第五章半群框架下SPDEs的数值方法及其误差分析本章在半群框架下研究了高斯和非高斯噪声共同驱动的SPDEs的数值方法均方收敛性.这里考虑的高斯噪声是希尔伯特空间取值Q-Wiener过程,非高斯噪声由和一个Levy过程相关的补偿Poisson随机测度定义.由于模型同时考虑了高斯和非高斯噪声的影响,这使得的模拟在描述是一些实际问题时更加准确,当然模型也变的更加复杂.这就导致这类模型的数值算法的构造和分析也更加复杂.本章针对高斯和非高斯共同噪声驱动的SPDEs模型,提出了一种半离散有限元格式的空间离散格式和一个全离散线性隐式欧拉格式,并对所提格式进行了严格的数值分析,得到了相应的误差估计.本章研究内容主要来自XU YANG AND WEIDONG ZHAO,Finite element methods and their error analysis for SPDEs driven by Gaussian and non-Gaussian noises,Appl.Math.Comput.,332,pp.58-75,2018.(SCI)第六章变分框架下SPDEs的数值方法及其误差分析主要研究了在变分框架下一类SPDEs的数值算法构造及其误差分析.首先在变分框架研究得到SPDEs的解的存在唯一性,并进一步研究得到解的正则性.针对SPDEs,构造了空间半离散数值格式和时空全离散数值格式,基于解的正则性和经典的确定性问题有限元的误差估计,对所提半离散数值格式和全离散数值格式的强收敛性分别进行了严格的理论分析并分别得到了相应的误差估计.本章研究内容主要来自STIG LARSSON,XU YANG,AND WEIDONG ZHAO,Convergen,ce estimates for spatially semidiscrete approximation of stochastic partial differential equations,Completed.STIG LARSSON,XU YANG,AND WEIDONG ZHAO,Strong convergence analysis for numetrical apprroximation of stochastic partial differrential equa-tions,Completed.第七章倒向SPDEs的空间半离散数值逼近主要研究了一类倒向SPDEs的数值算法构造及其误差分析.提出数值求解该类倒向SPDEs的空间半离散数值逼近格式,基于解的正则性和经典的确定性问题有限元的误差估计,对所提空间半离散数值格式进行了严格的理论分析并得到了相应的误差估计.本章研究内容主要来自XU YANG AND WEIDONG ZHAO,Con,vergence estimates of semidiscrete finite element method for no,nonlinear backward stochastic partial differential equations,Submitted.论文的主要结果第三章,主要对JSDEs,研究了一类随机分步θ-格式的误差估计,证明该类格式在较弱条件下的强收敛性并得到相应的误差估计.考虑数值逼近如下形式的跳扩散Ito型随机微分方程(JSDEs)其中 T>0 是一个给定常数,X(t-):= lims→t-X(s),f:Rm→Rm,g:Rm→Rm×d及h:Rm→Rm,m,d ∈ N+·这里W(t)是一个d维标准Wiener过程,N(t)是一个强度为λ>0标量Poisson过程,二者相互独立并且定义在一个完备的概率空间(Ω,F,F,P)上.首先,对时间区间[0,T]引入下列剖分:0 =t0<t1<…<tM-1<tM=T,其中M是一个正整数.令△tn = tn+1-tn,为简化问题,我们考虑均匀剖分,即,△t = △tn = T/M.格式0.i(随机分步θ-格式).给定初值:Y0=X0,{Yn}n=1M通过下列迭代方程求解:Yn*=Yn+△tθf(Yn*),Yn+1=Yn+△tf(Yn*)+g(Yn*)△Wn+h(Yn*)△Nn,n = 0,1,…,M-1,其中θ ∈[0,1]是一个固定参数,Yn是真解X(t)在时刻tn处的逼近,△Wn:=W(tn+1)-W(tn)和 △Nn =:N(tn+1)-N(tn)分别代表 Weiner 过程 W(t)Poisson过程N(t)的增量.特别地,当θ = 0时,随机分步θ-格式0.1退化为JSDEs的标准欧拉格式;当θ = 1时,随机分步步θ-格式0.1变为JSDEs的随机分步向后欧拉格式[50,52].为了方便讨论,我们将离散数值解进行连续化,即,对t ∈[tn,tn+1),定义连续化过程:Y(t):=Yn+(t-tn)f(Yn*)+g(Yn*)△Wn(t)+h(Yn*)△Nn((t),t∈[tn,tn+1),(0.2)其中△Wn(t):=W(t)-W(tn)及△Nn(t):=N(t)-N((tn).等价地,我们可以把由(0.2)定义的连续化过程表示为如下积分形式其中及IF表示集合F的特征函数,即,容易验证由(0.2)定义的连续化过程Y(t)在时间剖分格点上和数值解Yn是相等的,即,F(tn)= Y(tn)= Yn,n = 0,1,…,M.因此研究离散数值解的误差估计可以转化为研究连续化过程的误差估计.关于求解JSDEs的随机分步θ-格式0.1,我们有如下误差估计:定理0.1.假设条件(3.2),(3.3),(3.4),(3.5),(3.7)及(3.8)成立,如果1/2≤θ≤1及△t<△t0<1/2L,则连续化过程Y(t)(0.2)均方收敛于方程(0.1)的解析解X(t),即,其中C是与步长△t无关的正常数.第四章,研究求解跳扩散CIR和CEV模型的保正性数值方法,构造了变换跳适应向后欧拉方法(TJABEM),并对该数值方法进行严格数值理论分析.考虑如下形式的跳扩散Ito型随机微分方程(JSDEs)dXt = κ(θ-Xt-)dt + σXt-α dWt + g(Xt-)dNt,t∈(0,T],X(0)= X0,(0.3)其中Xt-:=lims→t-Xs.这里Wt是一个1维标准Wiener过程,Nt是一个强度为λ>0的标量Poisson过程,二者相互独立并且定义在一个完备的概率空间(Ω,F,F,P)上.在下文中我们总是假定参数α∈[1/2,1),κ,θ,σ>0,初值X0>0以及系数g:R→R是一个确定性函数.当α = 1/2时,(0.3)通常被称作金融领域的跳扩散CIR模型;当α∈(1/2,1),(0.3)通常被称作金融领域的扩散跳扩散CEV模型.第一部分:模型真解的性质.定理0.2.假定(4.3)-(4.4)成立,如果引理4.1中的条件(ⅰ)或者(ⅱ)成立,则对于初值X0>0,方程(0.3)存在唯一解,并且方程(0.3)的解依概率1取正值.下面定理给出了方程(0.3)解矩的有界性.定理0.3.假定κ,θ,σ>0,(4.3)成立,并且对于常数γ>0有x + g(x)≥ γx,(?)x>0.那么我们有下列性质.(1)对于跳扩散CIR模型,即,α = 1/2.若2κθ≥2 σ2,则存在依赖于p,λ,γ,L,T常数Cp,T使得方程(0.3)解的矩满足如果 p ∈[σ2-2κθ/σ2,∞)..特别地,当 9(x)≥ 0,(?)x>0,(0.4)对所有 p ∈(-2κθ/σ2,∞).仍然成立.(2)对于跳扩散CEV模型,即,α∈(1/2,1),(0.3)的解对所有p ∈(-∞,∞)满足(0.4).第二部分:求解跳扩散CIR和CEV模型(0.3)的变换跳适应向后欧拉方法及其数值理论分析我们首先引入变换过程Yt=Xt1-α.由跳扩散过程的Ito公式知Yt满足下列JSDEs:dYt = fα(Yt-)dt+(1-α)σdWt+[(Yt-1/1-α+g(Yt-1/1-α))1-α-Yt-]dNt,Y0= X01-α,(0.5)其中fα(y)有下式给出fα(y)=(1-α)(κθy-α/1-α-κy-ασ2/2y-1),α∈[1/2,1).对于问题(0.5),我们运用跳适应向后欧拉方法(JABEM)求解.为此,我们引进跳适应的时间剖分:T = {0 = t0<t1<…<fnT = T},即,先将时间区间[0,T]以步长△t=T/n进行均匀剖分,然后将所有的跳时刻{T1,T2,…}作为格点添加到原来的剖分中得到的新的剖分.这里nT:= max{n ∈ {0,1,…}:tn ≤T}.注意到这种包含所有跳时刻的跳适应的时间剖分是轨道依赖的并且最大步长是△t.在格点上{Yt}t∈[0,T]可以表示为其中k = 0,1,…,nT-1.对于(0.5),我们运用跳适应向后欧拉方法(JABEM)如下:定义Y0 = Y0,对于k = 0,1,…,nT-1,其中 △tk:= tk+1-tk,△Wk:= W(tk+1)-W(tk),△Nk:=N(tk+1)-N(tk)∈ {0,1}.注意到,如果th+1是跳时刻,那么△Nk= 1.反之,△Nk= 0.将数值逼近Ytk变换回去得到求解(0.3)的数值格式:Xtk=(Ytk)1/(1-α),k=0,1,…,nT-1.(0.7)(0.6)-(0.7)称作求解跳扩散CIR和CEV模型(0.3)的变换跳适应向后欧拉方法(TJABEM).下面的定理说明TJABEM具有保正性.定理0.4.在定理4.2的假设条件下并且Yt0>0,则(0.6)是适定的和保正的,即,依概率1,由Ytk>0知Ytk+1>0,从而推得Xtk>0,k=0,1,…,nT.关于TJABEM,我们有下面的收敛性结果.定理0.5.假定条件(4.3)-(4.4)及假设4.1,4.2成立.那么,对于任意的r∈[1,p*),存在常数Cp*,r>0(与△t无关)使得定理0.6.假定κ,θ,σ>0并且条件(4.3),(4.9)和假设4.2成立,那么,对于任意p∈[1,4κθ-2σ2/3σ2)并且κθ≥3/2σ2,TJABEM求解跳扩散CIR模型,即,α 1/2时,在如下p阶矩意义下是强收敛的,收敛阶是1:特别地,当 g(x)≥ 0,(?)x>0,对任意的 p ∈[1,4κθ/3σ2)且 κθ>σ2,(0.8)成立.定理0.7.假定κ,θ,σ>0并且条件(4.3),(4.9)和假设4.2成立.那么,对于任意p ∈[1,∞),TJABEM求解跳扩散CEV模型,即,α∈(1/2,1)时,在如下p阶矩意义下是强收敛的,收敛阶是1:第五章,在半群框架下,研究求解由高斯和非高斯噪声共同驱动的SPDEs的数值方法及其误差估计.假设(Ω,F,F,P)是一个完备的概率空间,(H(·,·),‖·‖)和(K,(·,·)K,‖·‖K)是两个可分Hilbert空间.考虑Hilbert空间H中的随机偏微分方程(SPDEs):其中ε:H\{0}是标记集.这里A:D(A(?)H→H是一个线性算子,但不一定有界.系数H → H,G:H→L20,及f:ε×H→H是满足一定正则性的映射.W(t)是一个Hilbert空间K-取值的Q-Wiener过程.N(dz,dt)是一个补偿Poisson随机测度.初值X0∈F0是一个Hilbert空间H-取值的随机变量.W(t)和及(dz,dt)都定义在概率空间(Ω,F,F,P)上.定义0.8(温和解).称H-值的随机过程{X(t),t∈[0,T]}为方程(0.9)的温和解(mild solution),如果X(t)F-适应的,满足E[∫0T‖X(t)‖2dt]<∞,并且对任意t ∈[0,T]第一部分:温和解的正则性关于温和解的正则性,我们有下列结果.定理0.9(空间正则性).若假设5.1-5.4成立.X(t)是方程(0.9)的温和解.如果X0 ∈L2(Ω,F0;Hβ),β ∈[0,1),那么,对所有的t ∈[0,T],X(t)∈ L2(Ω,Hβ)满足E[‖X(t)‖β2]<∞.定理0.10(时间正则性).若假设5.1-5.4成立.X(t)是方程(0.9)的温和解.如果X0 ∈L2(Ω,F0;Hβ),β∈[0,1),那么,对任意的0≤t1≤t2≤T,,有E[‖X(t1)-X(t2)‖2]≤ C(t2-t1)β.第二部分:空间半离散格式及其误差估计设{Th}是区域D的一族剖分,h是剖分网格的最大直径.对于每个Th,我们构造有限元函数空间Sh,使得Sh(?)H01(D)包含所有分片线性连续函数.基于算子Ph的定义(5.22)和A4的定义(5.23),我们提出下列求解问题(0.9)的空间半离散格式:给出Xh(0)=PhX0∈Sh,对于(?)t∈(0,T],求解过程Xh(t)=Xh(·,t)∈Sh使得dXh(t)+AhXh(t)dt=PhF(Xh(t))dt+PhG(Xh(t)))dW(t)容易验证问题(0.10)的系数满足定理0.14的所有条件,因此半离散问题(0.10)存在唯一温和解Xh∈Sh:对于上述半离散格式(0.10),我们有下面的误差估计.定理0.11·设又和X和分别是方程(0.9)和(0-10)的适度解·若假设5.1和5.2成立.如果X0∈L2(Ω2,F0;Hβ),β∈[0,1),那么,存在常数C使得E[‖Xh(t)-X(t)‖2]≤Ch2β,(?)t∈[0,T].第三部分:全离散格式及其误差估计基于有限元空间半离散格式(0.10),结合时间方向的线性隐式欧拉格式我们提出下列求解问题(0.9)的全离散格式:给出初值Xh,0= PhX0,对于m = 0,1,…,M-1,求解Xh,m+1 ∈Sh 使得其中Eh,k由(5.29)给出,Xh,m表示对半离散问题(0.10)的解Xh(t)在时刻tm处的逼近.对于上述全离散格式(0.12),我们有下列估计.定理0.12·设Xh,m和X分别是方程(0.12)和(0.9)的适度解.若假设5.1-5.4成立.如果X0 ∈L2(Ω,F0;Hβ),β∈[0,1),那么,存在常数C使得E[‖Xh,m-X(tm)‖2]≤C(max(h2β,h4/k)+κβ),m = 0,1,2,…,M.第六章,研究了在变分框架下一类SPDEs的数值算法构造及其误差分析.给定一个完备的概率空间(Ω,F,F,P).考虑下列形式的SPDEs:其中D是Rd中的一个带有多边形边界(?)D的有界凸区域,线性算子是一个二阶椭圆算子,W是一个定义在概率空间(Ω,F,F,P)上标准的K-值Q-Wiener过程.这里K是一个可分的Hilbert空间(K,(·,·)K,‖·‖K).定义Hilbert空间H = L2(D),装备其通常的内积(·,·)和范数‖·‖.定义A =-L使得D(A)= H2(D)∩H01(D).记V=H01(D).根据Riesz表示定理,我们将H的对偶空间H*等同于其本身,即,H=H*.用V*表示V的对偶空间,则V→H→V*,其中→表示连续稠密嵌入.称(V,H,V*)为Gelfand三元组.用<·,·>表示V和V*之间的对偶运算,显然有: