本篇博士论文主要由以下三部分构成:第一部分是关于奇异扰动有理函数具有淹没Julia.分支的研究.作为复解析动力系统的一个重要研究对象,有理函数的动力学系统一直是大家非常感兴趣的研究课题,其中的一个典型研究课题是研究Julia集的连通性与局部连通性、Julia集的面积与Hausdorff维数等几何与拓扑性质.在这项研究之前,关于有理函数Julia集人们得到非常多漂亮和重要的结论,同时发现了某些有理函数Julia集具有淹没点或淹没分支并给出了其Julia集具有淹没点或淹没分支的存在性条件,进而得到具有此性质的有理函数的具体表达式,更进一步地说,它们的淹没分支不同胚于另一个函数的连通Julia集.在本部分中.作者证明了存在这样的一个有理函数:它的连通Julia集可以按淹没方式嵌入到一个映射度更高的有理函数的Julia集中.更确切地说,作者借助拟共形手术与第一次扰动,得到一个半淹没分支:然后再次利用拟共形手术与扰动得到一个淹没分支.与此同时还估计了这个具有较高映射度的有理函数的映射度上界.第二部分是关于奇异扰动有理函数Julia集具有Cantor圆周的研究.当我们扰动P_n(z)=z-n时,则扰动出来的函数族Julia集是Cantor圆周,但是此时Cantor圆周上的动力系统与任何已知的函数族(包括McMullen函数族)所得到的Cantor圆周上的动力系统却不是拓扑共轭的.首先,作者研究此函数族的自由临界点被超吸引轨道0(?)∞所吸引的情形(双曲情形).根据其自由临界点吸引到0或者∞的超吸引域时的迭代次数,作者划分了其Julia集所有可能的类型,它们的Julia集分别是拟圆周,Cantor圆周,Sierpinski地毯和退化的Sierpinski地毯这四种类型之一.由此可知它此时具有非常丰富的动力学性态.其次,作者对双曲情形下Fatou分支边界的正则性进行了研究,证明了在这种情况下所有Fatou分支的边界一定是拟圆周并估计了其Julia集的Hausdorff维数.当Julia集为Cantor圆周时,作者给出了 Cantor圆周存在性关于映射度的一个充要条件并估计了其Julia.集的Hausdorff维数.最后,作者还研究此函数族在其自由临界点不被超吸引轨道0(?)∞所吸引时Julia集的连通性.我们证明了当其自由临界轨道不逃逸到0或者∞的超吸引域中时其Julia集是连通集,由此并结合双曲情形得到了其Julia集不连通的充要条件:其Julia集不连通当且仅当它是Cantor圆周.第三部分是关于重整化变换函数族Julia集Hausdorff维数的研究.考虑反铁磁链对应的金刚石型等级晶格上的λ-态Potts模型的配分函数零点的极限点集,这极限点集被证明是一族有理函数Tλ(z)的Julia集J(Tλ(z)).我们证明当λ → ∞ 时,其Julia集J(Tλ(z))的Hausdorff维数的渐近估计,即J(Tλ(z))的Hausdorff维数的一个下界估计.另外研究这族有理函数的Julia集的其他拓扑性质.