【摘 要】
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设μ为支撑在Rn上的Borel概率测度,若存在A C Rn使得EΛ={e2πi:λ∈Λ}为L2(μ)的正交基,则称μμ为谱测度,Λ为μ的谱,(μ,A)为谱对.我们知道自仿测度μM,D是由扩张矩阵M和
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设μ为支撑在Rn上的Borel概率测度,若存在A C Rn使得EΛ={e2πi<λ,x>:λ∈Λ}为L2(μ)的正交基,则称μμ为谱测度,Λ为μ的谱,(μ,A)为谱对.我们知道自仿测度μM,D是由扩张矩阵M和有限数字集D唯一确定的.第一个自仿谱测度1/4-Cantor测度由Jorgensen和Perdersen[13]给出.从此,关于支撑在分形集上的自仿测度是否为谱测度引起了广大数学家的讨论.本篇文章主要研究两类自仿测度的谱性问题,具体安排如下:第一章主要介绍了近些年来关于分形测度谱性问题的主要成果,以及本篇文章所需要的预备知识和本文的主要结果.第二章主要研究了在n维空间中,由实对角矩阵M=ρ-1I和满足条件ZDn(?)Emn,(ZDn-ZDn)\{0}(?)ZDn(mod Zn)的数字集D生成的自仿测度μM,D的非谱问题,这里0<|ρ|<1,I为单位矩阵.我们得到了L2(μM,D)空间中具有无穷正交系的充要条件.同时,对于L2(μM,D)空间中只有有限多个正交指数函数的情形,我们研究了它的精确势.第三章主要研究了由扩张整矩阵M和平面四元数字集(?)生成的自仿测度μM,D的非谱问题,这里α1β2-α2β1≠0.当α1β2-α2β1(?)2Z时,我们给出了L2(μM,D)空间中具有无穷正交系的充要条件是det(M)∈2Z,且当det(M)(?)2Z时,我们证明了 L2(μM,D)空间中至多含有4个相互正交的指数函数.当α1β2-α2β1∈2Z,det(M)(?)2Z时,我们给出了L2(μM,D)空间中正交指数函数的势的估计,但没能给出精确势.
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