本博士后报告从数学角度研究了气体动力学中几种含有亚音速流及跨音速激波的特殊流动模式的唯一性。这些流动模式包括:　　 ●三维无限长扩张管道内定常亚音速可压缩位势流;　　 ●三维有限长扩张管道内用定常可压缩位势流描述的跨音速激波;　　 ●在二维有限或无限长直管道内定常可压缩Euler流中的跨音速激波;　　 ●定常可压缩Euler流中附在楔体上的斜跨音速激波;　　 ●定常可压缩Euler流中有三个激波和一个接触间断组成的Mach结构。　　 我们知道特殊流动模式(特解)在气体动力学的理论研究(双曲守恒律方程组)中起着关键作用。它们的构造、稳定性和唯一性可帮助我们更好地理解若干重要的物理现象,以及相关的非线性偏微分方程的性质和结构。如上五种流动模式的构造是经典的,而且在过去的几年中对它们的稳定性已有了深入的研究。我们的工作是在对流场的正则性和下游亚音速流的相当合理的假设下进一步建立其唯一性。　　 在数学上,我们所解决的是在有界或无界区域内拟线性椭圆双曲复合混合型方程(组)的自由边界问题的解的唯一性。这里跨音速激波是自由边界,它与其前面的超音速流和其后的亚音速流需同时被求解。这与在定常流中的超音速流或超音速-超音速激波不同,后者控制方程(位势流方程或Euler方程组)是纯粹双曲型的,而前者在跨音速激波后的亚音速流的控制方程是椭圆型或椭圆-双曲复合-混合型的。这使得从数学上分析更困难。　　 我们发展的证明方法是基于各种椭圆方程(组)的最大值原理以及对激波所满足的R-H跳跃条件的细致分析。本质上我们建立了流场的L∞估计,这对于以后跨音速激波问题的一般性研究是必要的。　　 本文的主要内容安排如下:　　 第一章是绪论,对已有的与这些流动特解相关的存在性、稳定性及唯一性方面的文献作一简略的叙述。我们还列出了一些未解决的问题。　　 第二章以三维定常位势流方程为模型对具有任意光滑截面的无限长直扩张管内的亚音速流进行了研究。在当|X|→∞时解的梯度是O(1/|X|)阶的条件下,通过证明一个无界锥形区域内椭圆方程的极值原理,得到球形对称亚音速流是唯一的结论。相似的结论对两维无限长直扩张管内的定常亚音速Euler流也是成立的。　　 第三章对一类具有任意截面的直扩张管以三维定常可压缩位势流方程为模型研究了跨音速激波的唯一性。证明了若进口气流是超音速且是球形对称,出口给定适当大(小)的球形对称的压强(速度),则在管道内存在唯一的跨音速激波,而且激波、及其前的超音速流和其后的亚音速流均是球形对称。这是椭圆双曲混合型方程自由边界问题的一个整体唯一性的结论,通过最大值原理和恰当的选取比较函数得以证明。　　 第四章以二维定常完全可压缩Euler方程组为模型证明了在给定一致超音速来流,以及恰当的下游亚音速气流条件下,气体动力学中如下有激波产生的三种基本流动模式(特解)在分片光滑的C1函数类内均是唯一的:(I)有限和无限直管道内在固定激波波前上的一点后的跨音速正激波;(ii)一无限楔体上的斜跨音速激波;(iii)在固定一个超音速激波、两个跨音速激波、一个接触间断这四个间断的交点后,由这些间断构成的平坦Mach结构。在假设解是分片常数的前提下这些特解很早就被构造出来了,在气体动力学的研究中一直起着重要的作用。我们所得的结论说明在更弱的下游亚音速气流的条件下所得到的解必然就是这些特解。